基于物理的渲染，通俗一点说就是根据现实环境上光是如何照到物体，然后物体如何把光的颜色反射到人的眼睛的过程，通过渲染表达出来。而游戏中基于物理的渲染就是通过数学公式建模的方式来模拟（只是模拟并非完全准确）这个过程，从而达到更接近现实世界的渲染效果，显得画面更逼真。

从上面这句话的描述得知，整个物理渲染其实就用一句话最简单的话总结就是：、
求光从某个方向照射到物体后反射出来到肉眼的光。
用更具学术性的话语说就是：
求物体的双向反射分布函数，即BRDF。

因此，要在渲染上实现上面这句话，就要求我们去解开这些问题：
1、光是什么，如何用数学来量化光照。
2、物体会对光进行怎么样的反射，如何用数学来对此进行建模。
3、求出光经过物体反射后得到的光值是多少。

基于物理渲染的数学理论（推荐）

光是什么

光是一种电磁横波，以上下震荡的方式直线传播，电磁波的覆盖范围很广，但只有很小的一部分范围内（大约400到700纳米）对人类是可见的，因此着色只需要关注这部分。眼睛对光电磁波的不同频率感应为不同的颜色。
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如何量化光

要对光进行数学量化，而光传播的本质是以电磁波辐射能量进行传播的，而辐射学(Radiometry)是用来度量电磁波辐射的学科，因此可以用辐射学来量化光的传播。

辐射学的常见基本量：

量化值	符号	单位	定义
辐射能量 (Radiant Energy)	$Q$	$J$	表面上入射的能量
辐射通量 (Radiant Flux)	$\Phi$	$W$ 或 $J / s$	表面上入射能量的功率
辐照度（Irradiance）	$E$	$W/{\bf m}^2$	单位面积上的能量入射功率
辐射度（Radiosity）	$J$	$W/{\bf m}^2$	单位面积上的能量出射功率
辐射强度（Intensity）	$I$	$W/{\bf sr}^2$	单位立体角的辐射通量
辐射率（Radiance）	$L$	$W/({\bf m}^2{\bf sr})^2$	每单位面积每单位立体角的辐射通量

什么是立体角：
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立体角其实就是2D圆的弧度角扩展到3D空间的表示，如上图中 ${\bf r}^2$ 即为半径为 ${\bf r}$ 的球的立体角，这里辐射学用的通常是单位球。用 ${\bf \omega}$ 表示立体角，单位为 $s r$ (stereo radian)。(也有不规则的立体角，辐射学这里关注的是在单位球上形成圆边的曲面立体角)。

各个辐射学术名的关系与特点：

1、能量

能量用焦耳( $J$ )衡量，光源散射光子，每个光子具有特定的波长,对应的波长携带特定的能量。所有的基本辐射量实际上都是用不同的方法对光子进行测量。一个光子在波长为 $\lambda$ 时携带的能量：
$Q=\frac{hc}{\lambda}$
$c$ ：光速，即 $299,472,458{\bf m/s}$ 。
$h$ ：普朗克常量， $h\approx6.626\times10^{-34}{\bf m}^2{\bf kg}/{\bf s}$ 。

2、辐射通量：

${\Phi}=\frac{Q}{t}$
$d$ ：微分表示符。
$t$ ：时间。

3、辐照度：

对于点光源， $E$ 有公式：
$E=\frac{\Phi}{4\pi r^2}$
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图解：辐射通量用于测量空间上通过的能量，对于点光源，能量会随着距离的增加而递减，但总的能量保持不变。

对于平行光， $E$ 有公式：
$E=\frac{\Phi}{A}$
$A$ ：面积。
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定义垂直入射光方向的辐照度：
$E{_\bot}=\frac{\Phi}{A{_\bot}}$
说明：从公式可以看出 $E$ 的值与面积 $A$ 有关，
当光线是以斜射角度入射时，光辐射同样的通量会分布到更多的面积上，根据上图有 $A$ 与 $A{_\bot}$ 的关系：
$A{_\bot}=Acos\theta$
那么
$E{_\bot}=\frac{\Phi}{Acos\theta}$
即：
$E{_\bot}=Ecos \theta$

4、辐射强度：

$\frac{ {\bf d}\Phi}{ {\bf d}\omega}$
辐射强度可以用于测量一个无限小点的辐射强度，这是指指通过单位立体角的辐射通量，所以辐射强度与距离无关。

5、辐射率：

$L=\frac{ {\bf d}E{_\bot}}{\bf d\omega}=\frac{ {\bf d}\Phi}{ {\bf d}\omega {\bf d}A{_\bot}}=\frac{ {\bf d}\Phi}{ {\bf d}\omega {\bf d}Acos\theta}$
设想 $\omega$ 垂直于表面时， ${\bf d}A$ 是 ${\bf d}A{_\bot}$ 在上方的投影，如下图。
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在基于物理着色中，辐射率是最核心的量化值，上述介绍其它量化值的目的也只是为了求出辐射率。辐射率可以看成是光照射到物体后反射到眼睛的颜色值，辐射率是眼睛上最直接感受到的量化值。辐射率在传播过程中与距离无关，都能够保持数值一致，感官眼睛上最直接的感受就是在真空中，不管我们离一个物体多远，如果还在视野内，那么看到它的颜色总是保持不变的，这个颜色其实就是量化值辐射率。

BRDF

双向反射分布函数BRDF（Bidirectional Reflectance Distribution Function）
BRDF可以解释为，给定从某个方向入射的光线，BRDF给出了该光线在表面上所有反射光和散射光的分布。

眼睛观察到的物体表面的颜色，受入射光和出射光(视角)方向影响，如下图， ${\bf v}$ 表示出射光的单位向量， ${\bf l}$ 表示入射光的单位向量，BRDF函数表示为 $f({\bf l},{\bf v})$ 。
物体表面对光的量化函数称为BFRDF函数，在现实世界中，这个量化过程通常都是在单位半球上进行的，这样符合表面上某一点向外辐射能量的现象。那么在上述的 ${\bf l}$ 和 ${\bf v}$ 向量在确定某一点 ${\bf p}$ 上方的单位半球上则用立体角表示， ${\bf l}$ 和 ${\bf v}$ 分别对应 $\omega{_i}$ 和 ${\omega{_o}}$ ，则有
$f({\bf l},{\bf v})=f({\bf p}, \omega{_i},\omega{_o})$ 。
而 ${\bf l}$ 在图中这个半平面上，可以用 $\phi{_i}$ (方位角)和 $\theta{_i}$ (天顶角)确定， ${\bf v}$ 同理，所以有:
$f({\bf l},{\bf v})=f({\bf p}, \omega{_i},\omega{_o})=f({\bf p},\phi{_i},\theta{_i},\phi{_o},\theta{_o})$ 。
注意：这是一个半平面上的示意图
在这里插入图片描述
在辐射学上量化BRDF定义为出射光方向 $\omega{_o}$ 出射的辐射率 $L{_o}$ 与入射光方向 $\omega{_i}$ 入射的辐照率 $E{_i}$ 的比值，因此有表达式：
$f({\bf p}, \omega{_o}, \omega{_i}) =\frac{ {\bf d}L{_o}({\bf p}, \omega{_o})}{ { {\bf d}E{_i}({\bf p}, \omega{_i})}}=\frac{ {\bf d}L{_o}({\bf p}, \omega{_o})}{ { {\bf d}E{_{i\bot}}({\bf p}, \omega{_i})}cos\theta{_i}}=\frac{ {\bf d}L{_o}({\bf p}, \omega{_o})}{L{_i}({\bf p}, \omega{_i})cos\theta{_i}{\bf d}\omega{_i}}$
所以根据BRDF求得出微分辐射率：
${\bf d}L{_o}({\bf p}, \omega{_o})= f({\bf p},\omega{_o}, \omega{_i})⊗L{_i}({\bf p}, \omega{_i})|cos\theta{_i}|{\bf d}\omega {_i}$
用⊗是因为 $f$ 和 $L{_i}$ 都有RBG三个分量需要分别相乘。
则物体某一点 ${\bf p}$ 的辐射率为：
$L{_o}({\bf p}, \omega{_o})=\int_\Omega f({\bf p},\omega{_o}, \omega{_i})⊗L{_i}({\bf p}, \omega{_i})|cos\theta{_i}|{\bf d}\omega {_i}$
$\Omega$ ：单位半球。
也称为反射方程式，用于计算物体表面的辐射率。

至此，上面给出了如何用BRDF $f({\bf l}, {\bf v})$ 函数求出点 ${\bf p}$ 上辐射率 $L{_o}({\bf p}, \omega{_o})$ 。但 $f({\bf l}, {\bf v})$ 的解还未定义，因此需要对 $f({\bf l}, {\bf v})$ 进行数学建模，即设定它的方程。
因为 $f({\bf l}, {\bf v})= f({\bf p}, \omega{_o}, \omega{_i})=f({\bf p},\phi{_i},\theta{_i},\phi{_o},\theta{_o})$ ，因此点 ${\bf p}$ 上的BRDF函数接收4个参数，经过数学模型方程式运算输出结果。

微表面理论

用BRDF函数且相同的4个参数值，对不同的物质进行测量(比如不锈钢杯与塑料杯)，得出的结果值是不一致的，最直观的结果是在眼睛看来，金属和塑料的质感很不一样。
造成相同的参数值，不同物质BRDF函数得出不同的结果值原因有三个：
1、微表面的法线分布。
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2、微表面几何衰减。
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3、菲涅尔反射。
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也就是说平常我们看起来不同物质的质感不一样，主要是由不同物质以上三个因素不同造成的，因此，我们要对不同物质的以上三个因素进行数学建模。
Torrance-Sparrow基于微表面理论，用三个函数建立了高光BRDF模型：
$f({\bf l},{\bf v})=\frac{F({\bf l},{\bf h})G({\bf l},{\bf v},{\bf h})D({\bf h})}{4({\bf n}\cdot{\bf l})({\bf n}\cdot{\bf v})}$
$F$ ：菲涅尔函数。
$G$ ：微表面几何函数。
$D$ ：微表面法线分布函数。
${\bf n}$ ：宏观表面法线。
${\bf h}$ ：微观表面法线。
放到单位半球上的表示为（可省去点 ${\bf p}$ 的表示）：
$f(\omega{_i},{\omega{_o}})=\frac{F(\omega{_o},\omega{_h})D(\omega{_h})G(\omega{_i},\omega{_o})}{4cos\theta{_o}cos\theta{_i}}$

基于物理的渲染理论基础（PBR渲染）