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3.1 Deep plug-and-play prior for low-rank tensor completion
1 研究现状
图像去噪（Image Denoising）的目标就是对于给定的一幅含有噪声污染的图像，通过算法复原重建出相应的原始清晰图像。随着近些年来人工智能技术的发展和应用，图像去噪也被赋予了新的内涵和外延，并且在新理论的支撑和各类视觉技术应用的需求下，再一次掀起了研究的高潮。在过去几十年中，学者们通过提出不同类型的图像去噪方法来处理各种类型的含噪图像。
1.1 基于张量分解的高光谱图像去噪
高光谱图像拥有丰富的空间和光谱结构信息，被广泛地应用于军事、城市、航天等多个领域。但图像在采集过程中会受到各类噪声的污染，使得高光谱图像质量严重退化。因此，有必要对高光谱图像进行去噪，从退化图像中恢复出接近原始清晰的图像。
高光谱图像去噪的一种自然方法是将每个波段视为灰度图像，然后采用传统的二维或一维去噪方法逐波段去噪；随后的方法利用相邻的图像像素存在相似性和空间特性，通过全变分正则化方法实现空间分段光滑，对图像的边缘信息进行处理，提高图像复原精准度。这些方法都是为了去除一到两种类型的噪声，然而，在高光谱采集过程中通常会被几种不同类型的噪声所破坏，如高斯噪声、脉冲噪声、死线、条纹等。尽管基于低秩矩阵建模提出了消除噪声混合的方法，但恢复效果并不理想。
将多维高光谱数据转换为向量或矩阵通常会破坏谱空间结构相关性，基于张量建模技术比矩阵化技术更具有优势。利用三阶张量同时捕获光谱空间的非局部相似度和光谱相关性。基于张量的方法基本上保持了固有的结构相关性，具有更好的恢复结果。
张量补全的目的是为了估计多维数据中的缺失值，张量分解作为一种主流的张量补全方法得到了广泛的应用。由于自然图像中存在大量的冗余信息，因此可以视为是低秩的。对于一个低秩的张量，可以用一些尺寸较小的因子张量进行表示，此过程称为张量的分解。通过张量分解实现缺失数据补全的过程主要分为两步：一是训练过程，首先需要因子张量进行初始化，根据多维数据中已知的数据，借助一些优化算法，对这些因子张量进行训练直至模型收敛；二是预测过程，当因子张量训练完成后，张量中的缺失值则可以由这些因子张量计算求得。当前比较有代表性的张量分解方法有Tucker分解、CP分解、T-SVD分解以及Tensor Train分解等。
1.2 基于深度学习的图像去噪算法
近年来在人工智能领域中，大量的研究与实验结果表明，深度学习方法是加快图像处理领域迅猛发展的主要因素。深度学习中的卷积神经网络的结构非常适合去捕获浅层和深层的图像特征，通过自动学习可以获得特定任务所需要的图像特征，结合大规模图像训练集从而获得强大的数据推理能力。在图像去噪领域，基于深度学习的图像去噪算法也得到了迅速的发展，通过设计不同的网络结构和训练方法，从而学习到噪声图像到真实清晰图像之间的非线性映射关系。相较于传统图像去噪方法，基于深度学习的图像去噪方法通常不需要手动设置超参，并且具有更好的去噪效果。
对于深度学习在去噪方面的研究取得的成果并不是一蹴而就的，而是一个不断探索、不断发展的过程。2009 年，Jain 等人[1]首先采用 CNN 的架构进行图像去噪，利用无特定噪声模型合成训练样本进行无监督学习进行图像去噪，它能够取得和小波变换方法相当的去噪性能。2012 年，Burger 等人[2]采用多层感知机模型在大规模数据样本上训练模型实现图像去噪，但是该方法鲁棒性较差，针对不同类型不同强度的噪声都需要使用相对应的图像训练集才可以取得较好的效果。之后，所提出的 CSF[3]和 TNRD[4]将优化求解过程展开，通过数据学习每一层的网络参数，提高了计算效率和去噪效果。Mao 等人[12]在 2016 年提出了基于编解码网络结构的图像去噪方法，在卷积层和反卷积层之间采用跳跃连接，从而可以使用较深的网络层数。Dn CNN 方法[5]在网络层级结构间引入残差学习（Residual Learning）和批归一化（Batch Normalization，BN）[6]技术，从而有效解决了网络层数加深导致的梯度弥散效应，在去噪性能上得到了极大提升。随后提出的 FFDNet[7]在网络结构上进一步改进，其网络输入是噪声图像和噪声等级，经过实验证明，该方法对于非均匀的噪声也有非常好的去噪效果。Noise2Noise[8]，Noise2Viod[9]以及 Noise2Self[10]模型证明了在零均值噪声情况下，神经网络即使仅仅采用带有噪声的大规模图像数据集依旧可以达到接近于使用含有对应“干净”图像的数据集所达到的效果。Ulyanov 等人[11]所提出的 DIP（Deep image prior）无监督图像去噪方法，完全不同于已有的监督学习网络模型，它不依赖于任何图像训练集，仅仅通过推理一张噪声图像的重建规律，从而实现图像去噪，这一方法也取得了较为不错的去噪效果。
上述基于深度学习的图像去噪方法，在针对特定常见类型噪声（如高斯噪声）均有很好的去噪效果，但对于真实图像中较为复杂的噪声类型，其去噪效果则会大打折扣，并且上述大部分方法，都需要超大规模包含噪声图像和“干净”图像对的数据集进行训练。而对于真实图像，我们难以采集到完全“干净”无噪声的图像。
1.3 基于深度学习的高光谱去噪
基于监督学习的方法通常训练DNN [17]以从有噪声的观测中恢复无噪声的HSI，这需要大量成对的训练数据作为基础。Chang等人[18]引入了用于HSI混合噪声去除的深度卷积神经网络（CNN），其中学习的滤波器能够提取局部区域的空间信息，并且这些滤波器的通道能够描述谱相关性。为了充分利用空间-谱相关性，Dong等人[19]提出了一种基于3-D CNN的HSI去噪模型，并采用可分离的3-D卷积来大大减少网络参数的数量。为了更好地适应多级噪声，Yuan等人[20]利用噪声估计网络获得噪声水平，并训练多尺度残差网络用于HSI去噪。上述方法在HSI去噪中取得了令人瞩目的效果。然而，这些方法依赖于配对训练数据集的多样性和容量，而这对于HSI并不总是可用的。基于无监督学习的方法利用由合适的网络架构表示的深度图像先验（DIP）来解决各种图像恢复问题，而不需要任何成对的训练数据[21]，[22]。采用基于无监督学习的方法进行HSI处理可以有效避免训练数据不足的问题;因此，基于无监督学习的方法已经受到越来越多的关注并得到快速发展。Ulyancv等人[23]提出了一种无监督的图像恢复框架DIP。文献[23]的工作表明，合适的网络结构可以从输入的含噪图像本身提取潜在HSI的复杂结构，而不需要任何额外的训练数据。Sidorov和Hardeberg [24]将DIP扩展到HSI处理（例如：去噪、补绘和超分辨率）。受线性混合模型的启发，Miao等人[25]提出了一种无监督的HSI去噪框架，该框架由解纠缠的空间谱深度先验指导。这些基于DIP的方法在HSI去噪中具有良好的性能，并且保留了局部特征。
1.4 小结
本节简单介绍了张量与深度学习在图像恢复领域的研究现状，介绍图像去噪的研究背景和意义，对图像去噪的国内外研究现状进行归纳概括。
2 基于深度学习的图像去噪算法
2.1 深度神经网络基本知识
科学家从复杂的生物神经系统得到启示，通过模仿人脑神经元，构建了深度神经网络，图 2.1 是最经典的神经元模型，式（2.1）是其对应的数学模型。
图 2.1 中各单元意义如下：
1）输入：模拟生物神经网络中来自其他神经元的输入，在式（2.1）中用 
表示。
2）权重：每个神经元对外界信息接受的强度不同，因此接受的输入需要乘以一定的权重。在式（2.1）中用 
表示。
3）求和：模拟生物神经元对外界接受的信息进行汇总。
4）偏置：每个神经元的敏感性不同，需要一定的偏差来调整汇总值。对应于式（2.1）中的b 。
5）激活函数：模拟生物神经网络中信号累积到一定程度产生的动作电位，当累积到一定程度会激活动作电位。常见的激活函数有 Sigmoid、tanh、ReLU，对应于式（2.1）中的
。
6）输出：模拟生物神经网络对外释放新信号。对应于式（2.1）中的Y 。
深度学习是以不少于两个隐藏层的神经网络对输入进行非线性变换或表示学习的技术，
研究者们通过搭建深层神经网络，对各项活动进行分析。一个深层的神经网络包含有：一个输入层、若干个隐藏层、一个输出层。其中，每一层都有由许多神经元构成，每个神经元之间有连接权重。深层神经网络的结构示意图如图 2.2 所示。
2.2 基于深度学习的图像去噪网络
在基于深度学习的图像去噪算法中，卷积神经网络（CNN）得到了最为广泛的应用。它由三个部分组成：卷积层、池化层和全连接层。图 2.3 是其对应的网络结构。
1）卷积：在深度学习中，卷积是最基本的乘法和加法，对于一个单通道的图像而言，卷积过程如图 2.3 所示：
图 2.4 中的滤波器为3*3的矩阵，它的元素为[[1, 0, 2], [2, 1, 0], [0, 2, 1]]。这一滤波器在输入端滑动，经过每一个位置时，对应位置的元素相乘后相加，从而得到输出端对应位置的值。图 2.4 最终的输出结果为大小为3*3的矩阵。
2）池化：池化的目的是减少特征数量。常见的池化操作有最大值池化和均值池化。最大值池化能提取图片纹理，均值池化能保留背景特征。其对应的操作如图 2.5 所示。
3）全连接层：通过一系列卷积、池化操作后，会得到相应的特征图，将这些特征图依次按行展开成向量，输入全连接网络。
大多数去噪深度网络都是基于图 2.3 所示的卷积神经网络改进的。比如图 2.6 是DnCNN的网络结构。它由卷积（Convlution，Conv）、批归一化（Batch Normalization，BN）、ReLu组成。图 2.7 是 FFDNet 的网络结构与 DnCNN 非常相似，但是在输入的时候对图像进行了下采样处理。这些网络通过设定特定的网络架构来处理图像去噪问题，因此网络结构的设计对深度去噪网络非常重要。
2.3 稀疏编码
信号稀疏编码是信号处理界非常引人注目的研究领域，它的目的是用尽可能少的给定的过完备字典中的原子来表示信号，从而获取信号更为简洁的表示，使得更容易地获取信号中包含的信息，更方便进一步对信号进行加工处理，如压缩、编码等。
2.3.1 传统稀疏编码
稀疏编码的目标是将任意输入信号
表示为字典
中的原子的稀疏组合，即
。稀疏编码的意义是用字典中最少的原子的线性组合来表示输入信号，也就是说稀疏系数中的非零元素尽可能少，用数学的语言可以表示成：
其中，
表示0范数，计算向量中非零元素的个数。由于0范数的求解是一个 NP 难问题，所以研究者们常用1 范数替代0范数，并将以上的约束优化问题转化成无约束优化问题，则稀疏系数 
可以通过下面的1范数优化问题得到：
其中
为1 范数，
为正则化参数。稀疏编码在实际应用中的有效性取决于字典 D和优化算法的选择。
一般来说，字典的设计方法可分为两类：基于数学分析的方法和基于字典学习的方法。小波变换[
13]、离散余弦变换[14]、主成分分析[15]是广泛应用的基于数学分析法的字典设计方法。基于数学分析法的字典具有简单易实现的特点，但其适应性有限。相反，基于字典学习法的字典对复杂图像特征的捕捉能力更强，在这些字典学习方法中，K-SVD[16]得到了最为广泛的应用。
2.3.2 群稀疏编码
为了稀疏地表示多个信号，对每个信号进行单独处理的这一基本过程忽略了多个信号之
间的存在的内在结构。因此，对结构化稀疏编码模型的研究非常重要。基于这种考虑，群稀
疏编码是一种典型的编码方法。
图 2.7 稀疏编码和群稀疏编码之间的区别。(a):稀疏编码；(b):群稀疏编码
假设
表示一组相似的信号，用数学的语言来说，群稀疏编码将 Z
表示为 Z= DA，并且相应的稀疏矩阵 
可以通过以下
范数优化问题
求得：
其中
。由于范数的可分性，上式的解可以通过分别计算矩阵m行的解来得到，即：
中的每个子问题的解为：
其中，
是解决群稀疏编码问题的软阈值操作算子，定义为：
2.3.3 卷积稀疏编码
由于传统的稀疏编码仅仅考虑到图像块本身，而忽略了图像的全局结构，而卷积稀疏编
码模型恰恰弥补了这一不足。卷积稀疏编码模型采用卷积的形式实现稀疏编码，具有平移不
变性的特征。假设 
为输入图像。卷积稀疏编码将 X 表示成m 个卷积特征的线性组合
形式，即：
其中，
表示 m 个大小为 h×h 的滤波器，*表示卷积， 
表示第i 个滤波器 
对应的卷积特征。卷积稀疏编码假设
是稀疏的，即含有少量的非零元素，可以通过
下面的优化问题求得：
将上式写成矩阵的形式，则有：
其中，
是一个有界循环矩阵，它包含有的所有移位，其具体形状如图 2.8所示。
图 2.8 的形状
上式可以等价地转化为传统稀疏编码模型：
其中，字典 D 是由滤波器
构成的有界循环矩阵，其形状如图 2.9 所示。
图 2.9 D 的形状（ m =3 时）
2.4 小结
本章介绍了与本文研究相关的前沿知识，主要介绍深度图像去噪相关知识，包括深度图像去噪相关内容；稀疏编码理论：传统稀疏编码、群稀疏编码和卷积稀疏编码，为后续工作的展开奠定了一定的基础。
3 结合深度学习与张量的图像去噪
3.1 Deep plug-and-play prior for low-rank tensor completion
用于低阶张量补全的深度即插即用先验
Zhao X L, Xu W H, Jiang T X, et al. Deep plug-and-play prior for low-rank tensor completion[J]. Neurocomputing, 2020, 400: 137-149.
摘要：
彩色图像和多光谱图像等多维图像具有高度的相关性，包含丰富的空间和光谱信息。然而，真实世界的多维图像通常由于缺少条目而被破坏。通过将确定性低秩先验与数据驱动的深度先验相结合，提出了一种新的正则化张量完备化模型.在目标函数中，我们采用新出现的张量核范数（TNN）来表征多维图像的全局低秩先验。我们还通过插入一个去噪神经网络（称为深度去噪器）来构造一个隐式正则化器，它被确信能够表达从大量自然图像中学习到的深度图像先验。在即插即用（PnP）框架下，利用乘数算法的交替方向法对模型进行求解。在彩色图像、视频和MSI上的实验结果表明，该方法能够很好地恢复图像的全局结构和细节，在质量指标和视觉效果方面均优于同类方法.
主要方法：
这篇论文试图同时利用确定性低秩先验和数据驱动的深度图像先验各自的优势。通过将TNN正则化器与表示深度图像先验的隐式正则化器集成，提出如下的新颖LRTC模型：deep plug-and-play prior for low- rank tensor completion (DP3LRTC)
其中
是通过插入去噪CNNs的隐式正则化器（称为深度去噪器），在模型中，直接插入一个2D去噪CNN，使用FFDNet: Toward a Fast and Flexible Solution for CNN based Image Denoising[7]，它是在自然图像数据集上训练的，以解决相关子问题。两个正则化器有机地结合在一起，相互受益。一方面，隐式正则化器可以为多维图像的每个空间切片引入深度图像先验，很好地刻画了TNN正则化器难以捕捉的细节。另一方面，TNN增强了多维图像内部的全局相关性，避免了深度去噪器单独处理的切片之间缺乏内在联系的问题。TNN和分别规则化彼此互补的粗略结构和精细细节。为了有效地求解所提出的模型，在高度灵活的即插即用（PnP）框架下开发了乘法器的交替方向法（ADMM）。
DP3LRTC作为一种基于深度学习的低秩张量完成算法，具有高效性、灵活性和可扩展性等优点，但需要进行超参数调整和对先验模型的选择，对先验模型的准确性和适用性有一定的依赖。
3.2 Hyperspectral Image Denoising via Tensor Low-Rank Prior and Unsupervised Deep Spatial–Spectral Prior
基于张量低秩先验和无监督深度空谱先验的高光谱图像去噪
Wu W H, Huang T Z, Zhao X L, et al. Hyperspectral Image Denoising via Tensor Low-Rank Prior and Unsupervised Deep Spatial–Spectral Prior[J]. IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing, 2022, 60: 1-14.
摘要：高光谱图像去噪是遥感图像处理中的一项基础性工作，它对高光谱图像的分离、分类等后续应用具有重要意义。由于未经训练的深度神经网络（DNNs）强大的表示能力，基于深度图像先验（DIP）的方法在图像处理中取得了巨大的成功（例如，去噪和修复）。然而，基于DIP的方法忽略了潜在HSI的张量低秩先验，这将有利于捕捉潜在HSI的全局结构。针对这一问题，提出了一种新的HSI去噪模型，该模型能够同时利用张量低秩先验和深度空间-谱先验的各自优势。张量低秩先验导致更好的全局结构，而深度空间-谱先验是互补的，以更好地保留局部细节。一方面，我们采用低秩张量环（TR）分解来刻画张量的低秩先验，并捕捉潜在HSI的全局结构。另一方面，我们使用未经训练的DNNs来灵活地表示深度空间-谱先验，并捕获潜在HSI的局部细节。为了求解该模型，我们提出了一种有效的交替极小化算法.仿真和真实的数据的实验结果验证了该模型在HSI去噪中的优越性。与现有的HSI去噪方法相比，该方法更好地保留了HSI的局部细节和全局结构。
主要方法：
1）提出了一种新的HSI混合噪声去除模型（LRDS2），该模型能够同时利用TR分解表达的张量低秩先验和未经训练的DNN表达的深度空间谱先验的优点。
2）开发了一个有效的交替最小化算法来解决建议的LRDS2。
为了充分利用张量低秩先验和深度空间谱先验的各自的强度，本文提出了一种新的模型（即，LRDS2）用于HSI混合噪声去除，如下所示：
和
是由U-Net网络和FCN生成的第m个丰度图和端元对应特征，其由U-Net网络和FCN生成，Zm和Wm表示对应的U-Net网络和FCN的随机输入。
表示具有TR因子
的X的TR分解。所提出的方法享有张量低秩先验和深空谱先验各自的优点。具体地说，采用低秩TR分解来刻画张量低秩先验，并捕获潜在HSI的全局结构。
本文同时采用的U-Net网络和FCNs的深空间谱先验的特点和捕获的本地细节的基础HSI。采用低秩TR分解来捕获潜在HSI的全局空间-频谱相关性。另一方面，采用由U-Net [26]网络和全连通网络（FCN）[27]表示的深度空间-频谱先验来捕获底层HSI的局部细节，这些细节很难通过TR分解来捕获。
3.3 小结
本节列举了两篇张量与深度学习相结合的论文，目前用于图像去噪的方法主要有基于传统的方法和基于深度学习的方法，基于传统的方法有着较强的可解释性，但是却极大依赖人工调参，很多时候只能处理单任务，而基于深度学习的方法虽然有着较强的去噪性能，能自动地学习并调整参数，但是却缺乏可解释性。结合这二者的优缺点，正是我们日后的研究方向。
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