讨论矩和累积量的重要性质，进一步揭示矩与累积量之间的区别。特别地，累积量的性质在后面将经常被引用。为了叙述的方便，用mom(x1，…，xk)和cum(x1，…，xk)分别表示k个随机变量x1，…，xk的矩和累积量。
性质1：令为常数，
为随机变量，其中i=1，…，k，则
性质2：矩和累积量关于它们的变元是对称的，即
其中(i1，…，ik)是（1，…，k）的一个排列。
性质3：矩和累积量相对其变元具有可加性，即
这一性质意味着，和的累积量等于累积量之和，术语“累积量”(cumulant)因此而得名。
性质4：若随机变量{xi}和{yi}统计独立，则累积量具有“半不变性”，即
但高阶矩一般没有半不变性，即
这一性质给出了累积量的另一个名称—半不变量(semi-invariant)。
性质5：如果k个随机变量{x1，…，xk}的一个子集同其他部分独立，则
性质6：若α为一常数，则
累积量的上述性质在后面各节将经常用到。这里先举三个重要例子，说明累积量性质的重要应用。
1、三阶累积量的对称形式
性质2表明，k阶累积量具有k！种对称形式。以三阶累积量为例，共有3！=6种对称形式，因此可得：
Cum{x(t)x(t+m)x(t+n)}=；Cum{x(t)x(t+n)x(t+m)}=
；
Cum{x(t+n)x(t)x(t+m)}=；Cum{x(t+m)x(t+n)x(t)}=
；
Cum{x(t+n)x(t+m)x(t)}=；Cum{x(t+m)x(t)x(t+n)}=
.
因此得到下面式子：
2、独立同分布随机过程
顾名思义，独立同分布(independently identically distributed，IID)随机过程是一种在任何时刻的取值都为相互独立的随机变量，并且服从同一分布。根据性质5知，独立同分布过程{e(t)}的累积量
即独立同分布随机过程的四阶矩不是5函数，从而四阶矩谱也不是多维平坦的。
3、对高斯有色噪声的盲性
考虑一在高斯有色噪声v(t)中被观测的随机信号x(t)。若v(t)与x(t)相互统计独立，则由性质4知，观测过程y(t)=x(t)+v(t)的累积量为
但由于任何一个高斯有色噪声的高阶累积量恒等于零，故上式可简化为
这表明，当一个非高斯信号在加性高斯有色噪声中被观测时，观测过程的高阶累积量与非高斯信号的高阶累积量等价，即高阶累积量对高斯有色噪声具有盲性或免疫力。然而，由性质4知，观测过程的高阶矩不一定等于非高斯信号的高阶矩，即高阶矩对高斯噪声敏感。
上述重要应用回答了一个重要问题：为什么在高阶统计分析中通常不用高阶矩，而是使用高阶累积量作为非高斯信号的分析与处理工具。
对于一个零均值的平稳过程{x(t)}，其k阶累积量也可定义为
式中，{g(t)}是一高斯随机过程，并且与{x(t)}具有相同的相关函数和功率谱，即
参考教材：
现代信号处理（第三版）张贤达（编著）