Rudin [Principles of Mathematical Analysis] 笔记

前言

CS就是要学数学…所以我也开始学了.
Rudin这本书以简洁著称,所以需要笔记来补上证明过程中的各种跳跃.
我读的是机械工业出版社的英文影印版.

Chapter 1: The real and complex number system

1.1 Example

这个例子广为人知: 用反证法证明$\sqrt{2}$不是有理数(rational number).
首先说明一点: 一个数是偶数,那么它能被2整除. 对正整数来说,就是有2这个因子.

由有理数的定义,设

$$p={m\over n},p^2=2,$$ 其中, $m$和 $n$没有非1的公因子. 我们可以知道, $m$和 $n$不能同时为偶数(否则,他们就有一个公因子2).
我们可以得到
$$m^2=2n^2.$$
显然, $m^2$是偶数.那么 $m$也是偶数,于是 $m^2$能被4整除.这样一来我们能得到 $n$也是偶数.
我们得到了: $m$和$n$同为偶数.
推论和假设产生了矛盾,因此 $\sqrt{2}$不是有理数.

接下来是真正精彩的地方.
令集合$A=\{p\in \mathbb{Q} | p^2<2 \}$, $B=\{p\in \mathbb{Q} | p^2>2 \}$.

欲说明:对任意$p \in A$, 存在 $q\in A$满足$q>p$; 对任意$p \in B$, 存在 $q\in B$满足$q<p$ . 简而言之,$A$无最大元素,$B$无最小元素.

构造

$$\begin{equation} q = p-{p^2-2\over p+2} = {2p+2\over p+2}. \label{q} \end{equation}$$
有
$$\begin{equation} q^2 -2 = {2(p^2-2)\over (p+2)^2}. \label{qs} \end{equation}$$

检验$p\in A$的情形. 此时$p^2<2$, 因此由$\eqref{q}$可知$q>p$, 由$\eqref{qs}$可知, $q^2-2<0$ (说明$q\in A$).
$p \in B$的情形同理.
这个构造非常绝妙, 令

$$q = p-{p^2-2\over p+1},$$
或是
$$q = p-{p^2-2\over p+3},$$
都无法优雅地完成证明.