Eigen库学习（一）

一.Eigen库模块和头文件

Eigen库被分为一个Core模块和其他一些模块，每个模块有一些相应的头文件。为了便于引用，Dense模块整合了一系列模块；Eigen模块整合了所有模块。一般情况下，include<Eigen/Dense> 就够了。

二、矩阵和向量定义与初始化

1.模板

在Eigen，所有的矩阵和向量都是Matrix模板类的对象，Vector只是一种特殊的矩阵（一行或者一列）。Matrix有6个模板参数，主要使用前三个参数，剩下的有默认值。

Matrix<typename Scalar,
       int RowsAtCompileTime,
       int ColsAtCompileTime,
       int Options = 0,
       int MaxRowsAtCompileTime = RowsAtCompileTime,
       int MaxColsAtCompileTime = ColsAtCompileTime>

Scalar是表示元素的类型，RowsAtCompileTime为矩阵的行，ColsAtCompileTime为矩阵的列。

Options是一个比特标志位，这里，我们只介绍一种RowMajor，它表明matrix使用按行存储，默认是按列存储。

MaxRowsAtCompileTime和MaxColsAtCompileTime表示在编译阶段矩阵的上限。主要是避免动态内存分配，使用数组。

2.矩阵创建与初始化

Ⅰ.创建：Eigen定义了一些通用类型

MatrixNt = Matrix<type, N, N> 特殊地有 MatrxXi = Matrix<int, Dynamic, Dynamic>
VectorNt = Matrix<type, N, 1> 比如 Vector2f = Matrix<float, 2, 1>
RowVectorNt = Matrix<type, 1, N> 比如 RowVector3d = Matrix<double, 1, 3>

N可以是2,3,4或X(Dynamic)，t可以是i(int)、f(float)、d(double)、cf(complex)、cd(complex)等。

常用如下：

typedef Matrix<float, 4, 4> Matrix4f; //矩阵


typedef Matrix<float, 3, 1> Vector3f; //向量
typedef Matrix<int, 1, 2> RowVector2i;

typedef Matrix<double, Dynamic, Dynamic> MatrixXd; //动态矩阵
typedef Matrix<int, Dynamic, 1> VectorXi;

Ⅱ.初始化：

默认构造函数不执行任何空间分配，也不初始化矩阵的元素。

Matrix3f a; //a是一个3*3的矩阵，分配了float[9]的空间，但未初始化内部元素

MatrixXf b; //b是一个动态大小的矩阵，定义是未分配空间(0*0)

Matrix3f a(3,3); //对指定大小的Matrix传递sizes也是合法的（传递被忽略）

可以用构造函数提供4以内尺寸的vector的初始化

Vector2d a(5.0, 6.0);
Vector3d b(5.0, 6.0, 7.0);

逗号初始化

Matrix3f m;
m << 1, 2, 3,
     4, 5, 6,
     7, 8, 9;
std::cout << m;

3.矩阵操作与元素访问

Ⅰ 元素访问：通过中括号获取元素，对于矩阵是：（行，列）；对于向量，只是传递它的索引，以0为起始。

MatrixXd m(2,2);
  m(0,0) = 3;
  m(1,0) = 2.5;

m(index)也可以用于获取矩阵元素，但取决于matrix的存储顺序，默认是按列存储的，当然也可以改为按行。[ ]操作符可以用于向量元素的获取，但是不能用于matrix，因为C++中[]不能传递超过一个参数。

Ⅱ 矩阵操作

resize：重新调整动态matrix的大小

  MatrixXd m(2,5);
  m.resize(4,3);  //m大小变为4x3

assignment：复制一个矩阵到另外一个，操作符=。Eigen会自动resize左变量大小等于右变量大小，当左边矩阵大小固定时不允许这样操作。

MatrixXf a(2,2);
MatrixXf b(3,3);
a = b;  //a变成了3x3

+，- 运算:左右两侧变量具有相同的尺寸（行和列），并且元素类型相同（Eigen不自动转化类型）,包括a+b、a-b、-a、a+=b、a-=b

  Matrix2d a;
  a << 1, 2,
       3, 4;
  MatrixXd b(2,2);
  b << 2, 3,
       1, 4;
a + b;
a += b;

x、÷（标量）： matrix*scalar、scalar*matrix、matrix/scalar、matrix*=scalar、matrix/=scalar

  Matrix2d a;
  a << 1, 2,
       3, 4;
  Vector3d v(1,2,3);
  v *= 2；

×（矩阵）： a*b、a*=b

  Matrix2d mat;
  mat << 1, 2,
         3, 4;
  mat = mat*mat;

向量点积和叉运算：dot()执行点积，cross()执行叉积

Vector3d v(1,2,3);
  Vector3d w(0,1,2);
  cout << "Dot product: " << v.dot(w) << endl;
  double dp = v.adjoint()*w; // automatic conversion of the inner product to a scalar
  cout << "Dot product via a matrix product: " << dp << endl;
  cout << "Cross product:\n" << v.cross(w) << endl;

转置和共轭：transpose转置、conjugate共轭、adjoint(共轭转置) 伴随矩阵

MatrixXcf a = MatrixXcf::Random(2,2);
cout << "Here is the matrix a\n" << a << endl;
cout << "Here is the matrix a^T\n" << a.transpose() << endl;
cout << "Here is the conjugate of a\n" << a.conjugate() << endl;
cout << "Here is the matrix a^*\n" << a.adjoint() << endl;

归约：sum()、prod()、maxCoeff()和minCoeff()，他们对所有元素进行操作

  Eigen::Matrix2d mat;
  mat << 1, 2,
         3, 4;
  cout << "Here is mat.sum():       " << mat.sum()       << endl; //加
  cout << "Here is mat.prod():      " << mat.prod()      << endl; //乘
  cout << "Here is mat.mean():      " << mat.mean()      << endl; //平均
  cout << "Here is mat.minCoeff():  " << mat.minCoeff()  << endl; //最小值
  cout << "Here is mat.maxCoeff():  " << mat.maxCoeff()  << endl; //最大值
  cout << "Here is mat.trace():     " << mat.trace()     << endl; //迹（对角线元素和）