Prim算法的正确性证明

Prim算法的正确性证明

令无向图为$G=(V,E)$，其中 V = { v 1 , v 2 , . . . , v n } V=\left \{ v_{1} ,v_{2},...,v_{n} \right \} V={ v1​,v2​,...,vn​}，其生成树为$G^{{}^{\prime }}=\left(V,E^{{}^{\prime }}\right)$，其中 E ′ = { e t 1 , e t 2 , . . . , e t n − 1 } E^{'}=\left \{e _{t_{1}},e _{t_{2}},...,e _{t_{n-1}} \right \} E′={ et1​​,et2​​,...,etn−1​​}，且$G^{{}^{\prime }}$为联通无环图。

1. 贪心选择性质

不失一般性，令起始节点为$v_1$，贪心选择测略就是找到与$v_1$连接边最短的节点，以及相应的边，记该点为$v_a$，相应的边为$e_b=(v_1,v_a)$。现证明包括在某个最优解中。

令$G^{{}^{\prime }}$为一棵最小生成树，其中不包括$e_b$，则将$e_b$加入中，形成一个环，不考虑该环之外的节点，每个节点的度刚好为2，令该环中与$v_1$相关的另一条边为$e_c$，则删除后，获得另外一棵生成树$G^{{}^{\prime \prime }}$。由于$w(e_b)<=w(e_c)$,$G^{{}^{\prime \prime }}$也一定为一棵最小生成树。

2. 最优子结构

不失一般性，令通过prim算法得到的某棵最小生成树$G$中，节点度数最小的两个节点对应的字符为$a$和$b$，将两个节点进行合并操作得到一个新的节点，对应字符记为$c$，同时新的最小生成树为$G_1$，需要证明$G_1$为最小生成树。

假设其最小生成树不是$G_1$，则另外一棵最小生成树$G_2$, s.t. $W(G_2)<W(G_1)$，将的$c$节点重新扩展成为$a$，$b$两个节点，且以边$e=(a,b)$相连，易得此使最小生成树无环，且是一个有$n-1$条边的连通图，获得$G_3$,可以得到：$G_3=G_2+w(e)<G_1+w(e)=G$

这与假设中的G为最小生成树的假设矛盾，因此得证。