891. Nim游戏

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title: 891. Nim游戏
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• Acwing
• 每日一题
• 博弈论
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• 2023大四下学期
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  date: 2023-03-21 10:05:07

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摘要
Title: 891. Nim游戏
Tag: 博弈论
Memory Limit: 64 MB
Time Limit: 1000 ms
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891. Nim游戏

• 题意

  给定 n堆石子，两位玩家轮流操作，每次操作可以从任意一堆石子中拿走任意数量的石子（可以拿完，但不能不拿），最后无法进行操作的人视为失败。
  问如果两人都采用最优策略，先手是否必胜。

• 思路

  1. 终止状态，也就是必败态，是 $a_1\oplus a_2...\oplus a_n=0$
  2. 如果当前异或值不是0，那么一定可以通过某种方式，使得拿完之后的异或值变成0
     1. 即拿$a_i-(x\oplus a_i)$个，$x=a_1\oplus a_2...\oplus a_n$，这样那一堆石子就剩$x\oplus a_i$个，这样所有的异或值就为0了
     2. 为什么$x\oplus a_i$一定小于x呢?
        1. 一定存在一个$a_i$使得满足$x\oplus a_i$小于$a_i$
        2. 假设：x（用二进制表示）最高位是第$k$位，此时只需要找一个第$k$位同样为$1$的$a_i$即可，这样他俩异或后，第$k$位一定变成0，一定会比$a_i$小，这样找到的$a_i$一定满足上述条件
  3. 如果当前的异或值是0，那么不管怎么拿，拿完之后的异或值一定不是0

• 代码

  '''
  Author: NEFU AB-IN
  Date: 2023-03-21 10:19:25
  FilePath: \Acwing\891\891.py
  LastEditTime: 2023-03-21 10:22:32
  '''
  read = lambda: map(int, input().split())
  from collections import Counter, deque
  from heapq import heappop, heappush
  from itertools import permutations
  
  N = int(1e3 + 10)
  INF = int(2e9)
  
  n = int(input())
  lst = list(read())
  
  res = 0
  for i in lst:
      res ^= i
  
  print("Yes" if res != 0 else "No")