一、成比例关系

成比例关系分为成正比和成反比。成正比和成反比都是指两种变量以某种确定性的关系相互关联，一种量变化，另一种量也随之变化。

1.1 成正比

两种变量的比值一定，称这两种量成正比，用数学语言表示为 $\frac{y}{x}=k$ 或 $y = k x$ ，其中 $k$ 为常量且 $k\neq 0$ 。

注意：形如 $y = 2 x$ 和 $y = - 2 x$ 都是成正比的关系！也就是说，两种变量的比值可以为正、可以为负，只要比值一定，就一定是成正比关系。

1.2 成反比

两种变量的乘积一定，称这两种量成反比例，用数学语言表示为： $x y = k$ 或 $y=\frac{k}{x}$ ，其中 $k$ 为常量且 $k\neq 0$ 。

注意：形如 $x y = 2$ 和 $x y = - 2$ 都是成反比的关系！也就是说，两种变量的乘积可以为正、可以为负，只要乘积一定，就一定是成反比关系。

二、相关性关系

2.1 定义

相关关系是客观现象存在的一种非确定的相互依存关系，即自变量的每一个取值，因变量由于受随机因素影响，与其所对应的数值是非确定性的。相关关系中的自变量和因变量没有严格的区别，可以互换。 因果关系一定是相关关系，反之不一定成立。

相关的概念常见于概率统计学，相关性的大小可以用相关系数描述，常用的相关系数是皮尔逊Pearson相关系数。随机变量的相关性本质是由协方差决定的。 当 $co v (X, Y) > 0$ 时，X和Y正相关；当 $co v (X, Y) < 0$ 时，X和Y负相关；当 $co v (X, Y) = 0$ 时，X和Y不相关。

2.2 分类

三、区分几组关系

3.1 区分成正比和正相关

正相关是一种概念，是统计学上通过大量的数据统计出来的变量关系：一个变量增大，另一个变量也增大。正相关可以是线性的，也可以是非线性的。比如常见的正相关函数有： $y=kx+b, y=x^2, y=a^x, y=log_ax(a>1, x>0)$ 等。而正比表现为直线，有具体的线性关系$y=kx $（可以用确切的数学公式表示出来）。

成正比是相关关系中的特殊情况，如下图，完全正线性相关和完全负线性相关都是成正比关系。成正比和正相关没有必然联系，成正比的变量不一定正相关，只有比例系数 $k > 0$ 时，两个变量才是正相关；反之，正相关的变量不一定成正比，只有当 $co v (X, Y) = 1$ 时， $Y = k X + b$ 且 $k > 0$ ，两个变量才是成正比。（牢记并区分定义！）

3.2 区分线性关系和非线性关系

线性关系是指自变量和因变量之间是按比例、成直线的关系，在图形上表现为规则、光滑、均等的运动，在数学上理解是一阶导数为常数的函数。线性方程又称一次方程，指自变量都是一次的方程，一般形式为： $y=a_0x_0+a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+...a_nx_n$ 。

非线性关系是指自变量和因变量之间不是按比例、不成直线的关系，代表不规则地运动，一阶导数不为常数。非线性方程对比于线性方程，是含有高次项的方程，是一阶导数不为常数的方程组。线性关系是互不相干的独立关系，而非线性关系是相互作用的联系关系。

3.3 线性模型和非线性模型的区别

从数学上理解，因变量函数对自变量的依赖关系是否是线性，模型方程是否可以用一次线性方程来表示，或者因变量对所有自变量的偏导数是否均是常数；

从样本分布理解，量与量之间是否按照比例成直线关系，或者是否可以用直线将样本划分开；

要注意的是：线性模型可以用曲线拟合样本，但分类的决策边界一定是直线，例如logistics模型。区分是否是线性模型，主要看决策边界是否是直线。

【20221025】【数学基础】相关性和成比例关系的联系和区别

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