求解线性方程组也算是考研中的必备技能了,它往往出现在大题的第一问。
【注】本篇需要一些线性代数基础
1.首先我们来解决r=n的情况
# 线性方程组
import numpy as np
from scipy import linalg
# 定义A矩阵
A = np.array([[1,2,3],
[1,3,5],
[1,2,1]])
# 定义b
b = np.array([4,6,5])
x = linalg.solve(A, b)
print(x)
使用python进行求解的时候只需考虑秩与列数之间的关系,因为我们不需要进行行变换去具体求解。对于方阵来说求秩需要化阶梯,但对于python来说,只要A不是可逆矩阵,使用此方法会直接报错。
2.其次我们来解决r<n的情况
# 线性方程组
import numpy as np
from scipy import linalg
# 定义A矩阵
A = np.array([[1,2,3],
[1,3,5],
])
# 定义b
b = np.array([4,6])
x = linalg.solve(A, b)
print(x)
修改了一下矩阵使得秩明显小于列数,这里运行程序,结果报错并提示Input a needs to be a square matrix.也就是说不能直接的通过此代码求出通解。故而,按照常规方法,求一个特解。在搞一个解向量(也就是其对应齐次方程组的通解)。
(1)求特解
直接让x3=0,简化A矩阵
A = np.array([[1,2],
[1,3],
])
这样我们可以求出一组特解【0,2,0】
(2)求其对应齐次方程组的通解
这里还是让x3=1,注意你要是让x3=0必然求出的是零解,然而我们要的是非零解
b_1 = np.array([-3,-5])
x_1 = linalg.solve(A,b_1)
print(x_1)
求出来之后×一个系数就是通解,非齐次的通解只需要加上特解就可以了。