一. 卢瑟福模型

1908年，卢瑟福用α粒子继续轰击金箔，发现有极少数粒子，发生了非常大的偏移。而这对于当时主流的葡萄干面包模型理论分析是相悖的。

原子可看成由带正电的原子核和围绕核运动的一些电子组成，原子中心的原子核带正且几乎集中了原子的全部能量，带负电的电子进行绕核运动。

二. 能量量子化、光电效应、光谱

2.1、能量量子化的提出

（1）黑体辐射

了解黑体辐射之前需知道什么是热辐射？首先，任何问题都可以不断辐射、吸收和发射电磁波。而辐射出去的电磁波，在各个波段是不同的，也就是存在一定的谱分布。这种谱分布与物体本身的特性及其温度有关，因而被称之为热辐射。

当然物体吸收辐射后温度的变化不会一直上升，物体的温度不再变化，即物体的辐射和吸收达到平衡，此时物体的热辐射称为平衡热辐射，此时物体的热辐射称为平衡热辐射。

知道黑体辐射的定义，那么就可以进而得到黑体的定义：能够全部吸收一切外来的电磁辐射(各种
波长的辐射)且不反射和透射的物体。比如说煤烟（吸收率约99%）、开有小孔的洞穴。

那么研究黑体有什么优势呢？1859年，基尔霍夫证明平衡态时黑体辐射能量密度随频率变化曲线的形状与位置只依赖于黑体的热力学温度，与构成空腔黑体的材料以及形状无关。这样，我们就可以利用黑体可撇开材料的具体性质来研究热辐射本身的规律。

（2）能量交换的量子化

在2.1说了热辐射的定义即物体加热后所辐射出的电磁波和本身的特性额温度相关，而黑体辐射又与材料和形状无关，黑体的辐射光谱仅取决于黑体所处的温度。不同物理学家对黑体辐射进行分析，提出了位移定理、维恩公式以及普朗克的能量量子化。

1893年，维恩提出了位移定律，即 $\lambda_{\max } \boldsymbol{T}=2.898 \times 10^{-3} \mathrm{mK}$ ，通过此公式即可确定不同温度下，辐射最强波的波长值，如下图：

1896年，维恩根据实验数据分析，提出了维恩公式： $E(v, T) d v=C_1 v^3 e^{-\frac{c_2 v}{T}} d v$ ，但是在高频部分与实验结果相符度不是很好，如图：

1900年，德国物理学家普朗克在一次德国物理会议上提出：电子辐射的能量交换只能是量子化的，公式表达为： $\mathrm{E}=n h v \quad(n=1,2,3, \ldots \ldots)$ （其中E为辐射电磁波带电谐振子的能量，v为电磁波的频率，h为普朗克常量 $h=6.55 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \cdot \mathrm{s}$ ）

重要意义：打破“一切自然过程能量都是连续的”经典看法，敲开量子力学的大门。

2.2、光电效应

1887年，德国物理学家赫兹发现紫光照射金属的尖端特别容易发生尖端放点；

1897年，汤姆逊发现了电子；1900年，林纳实验发现金属在紫外光照射下发射电子。人们意识到一定频率的光照射在金属表面时，金属中的电子吸收光能会从金属表面逸出——光电效应。

（1）光电效应实验

光电效应的实验装置图如下图：

如上图，光经过石英窗照在金属板K上，金属板K逸出电子——光电子。光电子在到达金属板A形成电流——光电流。

金属板A和K之间加以电场V：当 $e V_0=\frac{1}{2} m v_0^2$ （ $v_0$ 为电子逸出的最大动能），将没有电子到达金属板A，光电流为0， $V_0$ 为遏制电压。

实验结果：1）存在阈频 $v_{min}$ ：对任何金属，都有一个临界频率 $v_{min}$ ，入射光频率v> $v_{min}$ 时，才能发生光电效应，当v< $v_{min}$ 时，无论光强多大，无光电子产生。 $v_{min}$ 与材料有关，与光强无关；2）光电子的出射是瞬时的：当v> $v_{min}$ 时，无论光有多弱，立即有光电子产生(<1ns)；3）v> $v_{min}$ 时，光电流强度i与照射光辐射强度I成正比，光强只影响光电子的数目，不影响光电子能量；4）对于同一种金属材料，入射光频率v一定时，遏制电压不随入射光强改变。光电子能量与照射光的频率有关，与入射光强无关；5）对于特定的金属材料，遏制电压 $V_0$ 与入射光的频率成正比——光强只影响光电子的数目，不影响光电子的能量。——光电子能量与光强无关，与光频率有关。

与原理论相悖：经典物理认为光是一种波动，若光为一种波动则当光照射在电子上随着电子聚集能量就可以脱离原子核逸出，且能量的积聚是需要时间的。这与观测到到光频率大于 $v_{min}$ 瞬时逸出，且光强不影响遏制电压是相悖的。因此，需要提出新的一种理论以解释光电效应。

（2）爱因斯坦光电方程

光子的提出：1905年，爱因斯坦发展了普朗克的量子说，指出光以粒子的形式-光子存在和传播。一个光子的能量是 $E=hv$ 。因此，光电效应中，电子吸收光子能量，一部分消耗在克服电子逸出功，另一部分变为光电子逸出后的动能。光电效应满足关系式：

$h v=T_{\text {max }}+W_{\text {escape }}=\frac{1}{2} m v_{\text {max }}^2+W_{\text {escape }}=T+\phi$

上式表明，对于给定的金属（逸出功 $\phi$ 一定），电子动能T与入射光的频率v成线性关系。直线的斜率就是h，所以对于不同的靶来说，这条斜率是相同的。

爱因斯坦光电方程： $h v=\frac{1}{2} m v^2+W$ （W为逸出功，仅与材料有关）。

特性：1）频率阈值：只有v> $v_{min}$ 才会发生光电效应， $W=hv_{min}$ ；2）瞬时性：光子到达金属表面，一个光子能量一次性被一个电子吸收，若v> $v_{min}$ 时，电子立刻逸出，无需时间积累；3）当v> $v_{min}$ 时，光强越大，光子数越多，单位时间内产生的光电子数目越多，光电流越大。

爱因斯坦因光电效应于1921年获得诺贝尔奖。

2.3、光谱

卢瑟福实验中，α粒子的大角度散射，肯定了原子核的存在但核外电子的分布和运动情况仍然是个迷。

（1）光谱的基本原理及分类

光谱实验基本原理：不同波长的光在介质中的折射率不同，基于此，光经过三棱镜后可以将不同波长的光分离形成一个光谱，构建的光谱既可以把光射线按不同波长分析，又可以纪录不同谱线的强度。

光谱的分类——根据波长的变化情况，光谱大致可以分为三类：

1）连续谱：由连续分布的一切波长的光组成，整个光谱区域都是亮的。一般是由固态的高温辐射，如太阳；

2）带光谱：波长在各区域内连续变化，为分子光谱；

3）线光谱：波长不连续变化（只发某些特定频率的光），为原子光谱。

（2）氢原子光谱

氢原子核外只有一个电子，为研究原子光谱提供了便利条件。

实验现象：氢光谱在可见区和近红外区有很多谱线，为分立的线状光谱，且每一线系内光谱逐渐向线系短波一端靠拢。

1885年，巴尔末从光谱仪中观察到氢原子光谱线共有14条（巴耳末系），并对其进行了分析，提出了一个经验公式（巴尔末公式）： $\tilde{v}=\frac{1}{\lambda}=\frac{4}{B}\left(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{n^{\prime 2}}\right) \quad\left(n^{\prime}=3,4,5, \cdots\right)$ 。其中B=364.56nm为经验常数， $\tilde{v}$ 为波数即波长的倒数。

氢原子除了巴耳末系外，还有很多其它的线系，具有相同的特征（逐渐向短波一端——波数大的一端靠拢）

1889年，里德伯提出了一个更普遍的方程： $\tilde{v}=\frac{1}{\lambda}=R_H\left(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n^{\prime 2}}\right)=T(n)-T\left(n^{\prime}\right)$ 。其中， $T(n)=\frac{R_H}{n^2}$ 为光谱项， $n=1,2,3, \cdots$ ， $n^{\prime}=n+1, n+2, \cdots$ ， $R_H=\frac{4}{B}=109677.58 \mathrm{~cm}^{-1}$ 为里德伯常量。

氢原子光谱实验规律：1）原子具有线性光谱；2）谱线的波数由两个谱项的差值决定；3）第一个谱项的变量决定不同的谱系，第二个谱项的变量决定同一谱系中的不同谱线。

氢原子光谱实验带来的疑问：复杂的光谱线可由里德伯公式简单的表示，而里德伯公式是凭经验凑出来的，能与实验很好的符合，其根本原因是什么？答案将由波尔的波尔模型揭开。

三、波尔模型

3.1、定态假设

假设内容：电子核绕核做圆周运动，只在分立的轨道运动，虽然在这些轨道运动时具有加速度，但并不向外辐射能量，每一个轨道对应一个定态，而每一个定态都与一个能量相对应。

核式模型+定态的稳定状态：1）电子作绕原子核的圆周运动；2）不向外辐射电磁波；3）定态的能量不稳定。

电子能量和圆周运动频率：

根据定态假设，电子绕核做匀速的圆周运动，若原子核不动，则原子核对电子产生的库仑力为电子提供了圆周运动的向心力，即：

$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Z e^2}{r^2}=m_e \frac{v^2}{r} \Rightarrow m_e v^2=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Z e^2}{r}$

其中，r为电子和原子核的距离，Ze为核电电荷量（Z为正整数，当Z=1时，即为氢原子），v为电子绕核运动的线速度。

电子能量由电子绕核做圆周运动的动能和原子核对其产生的势能（离核电子动能减少，为负的势能）两部分产生：

$E=T+V=\frac{1}{2} m_e v^2-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Z e^2}{r}=-\frac{1}{2} \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Z e^2}{r}$

可得到，电子的能量公式：

$E=-\frac{1}{2} \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Z e^2}{r}$

需注意：1）电子能量为负值，r趋于无穷时，能量最大为0。半径r越大能量E越大，r越小能量E越低。2）r不连续，导致了能量E的不连续。

通过库仑力为电子提供向心力公式，可计算电子作圆周运动频率：
$f=\frac{v}{2 \pi r}=\frac{1}{2 \pi r} \sqrt{\frac{Z e^2}{4 \pi \varepsilon_0 m_e r}}=\frac{e}{2 \pi} \sqrt{\frac{Z}{4 \pi \varepsilon_0 m_e r^3}}$

3.2、跃迁假设

假设内容：电子并不永远处于一个轨道上，它会从一个定态轨道跃迁到另一个定态轨道，以电磁波的形式放出或者吸收能量hv。（当从高能量轨道跃迁至低能量轨道，多余的能量通过光子的形式放出；低能量轨道跃迁至高的轨道，需要从外界吸收能量）

重要意义：将光的量子论引入至原子物理。

公式表达： $h v=E_{n^{\prime}}-E_n$

定态轨道能量计算：

根据里德伯公式，可以得到氢原子波数为： $\tilde{v}=\frac{1}{\lambda}=R_H\left(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n^{\prime 2}}\right)$ ；

两边同时乘以hc可以得到： $h v=h \frac{c}{\lambda}=h c R_H\left(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n^{\prime 2}}\right)$

进而得到波尔模型： $h v=E_{n^{\prime}}-E_n$

电子定态轨道能量为： $E_n=-\frac{R_H h c}{n^2}$

即电子从定态n'跃迁至n时会释放能量，放出光子，光子的波长为λ。

电子轨道半径——将上述的电子定态轨道能量和3.1中电子能量公式联立，可以得到电子轨道半径为： $r_n=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{e^2}{2 R_H h c} n^2$

3.3、角动量量子化

假设内容：电子处于定态时，角动量 $L=m v r$ 是量子化的。角动量可用公式表示为： $L=m_e v r=n \hbar(n=1,2,3, \cdots)$ ，其中 $\hbar=\frac{h}{2 \pi}$ 。

微观世界的量子力学和宏观世界的经典物理是否可在某些情况下结果统一？

在上述理论基础上，我们可以指导可以用不连续的量子化来描述微观世界，无论从能量还是电子的轨道。而在宏观世界，如电场和磁场，我们知道无论轨道还是能量可以连续的变化。带电物体周期性公转运动会发出连续频谱且辐射频率等于公转频率。

原子现象的量子理论在极限情况下应给出与相应经典物理学相同的结果

即量子数很大而改变很小的情况下，量子理论的结果应和经典物理学结果相近，反之亦然。

1）能级连续变化状态：

根据频率条件 $h v=E_{n^{\prime}}-E_n=R_H h c\left(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n^{\prime 2}}\right)$ ，当 $n \rightarrow \infty$ 且n与n'相差很小时，能级为连续变化状态，量子体系的行为将趋于经典体系，经典规律成立；

2）量子辐射频率趋近于经典辐射频率：

当 $n \longrightarrow \infty$ 时， $n^{\prime}=n+1 \rightarrow n$ ，则可对量子跃迁频率近似为：

$v=R_H c\left(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n^{\prime 2}}\right)=R_H c \frac{n^{\prime 2}-n^2}{n^2 n^{\prime 2}}=R_H c \frac{2}{n^3}$

经典理论中，带电粒子做周期运动，连续发射的辐射频率=粒子的周期运动频率。结合3.1中电子作圆周运动的频率： $v=f=\frac{V}{2 \pi r}=\frac{1}{2 \pi r} \sqrt{\frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 m_e r}}=\frac{e}{2 \pi} \sqrt{\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 m_e r^3}}$

假设量子跃迁频率与圆周运动频率相等，可将上述两式联立获得电子轨道半径：

$r=\sqrt[3]{\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Z e^2}{16 \pi^2 R_H{ }^2 c^2 m_e}} \cdot n^2$

与3.2电子轨道半径公式 $r_n=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{e^2}{2 R_H h c} n^2$ 联立，可得里伯德常数表达式：

$R_H=\frac{2 \pi^2 Z^2 e^4 m_e}{\left(4 \pi \varepsilon_0\right)^2 \cdot c h^3}$

计算可得： $\begin{aligned} R & =\frac{2 \pi^2 e^4 m_e}{\left(4 \pi \varepsilon_0\right)^2 \cdot c h^3}=\frac{m e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^3 c} \\ & =\frac{9.0 \times 10^{-31} \times\left(1.6 \times 10^{-19}\right)^4}{8 \times\left(8.85 \times 10^{-12}\right)^2\left(6.63 \times 10^{-34}\right)^3 3 \times 10^8} \\ & =109737.315 \mathrm{~cm}^{-1} \end{aligned}$

实验获得的里德伯常数为： $R_H=109677.58 \mathrm{~cm}^{-1}$

理论结果：理论与经验常数相差 $59.735 \mathrm{cm}^{-1}$ ，万分之五。万分之五的差值也是后期提出波尔模型的实验验证之一。

轨道角动量量子化公式推导：

再将其带入 $r_n$ ，可以得到 $r_n=\frac{4 \pi \varepsilon_0 \hbar^2}{m_e Z e^2} \cdot n^2$ （其中， $\hbar=\frac{h}{2 \pi}$ ）。

再由3.1库仑力提供向心力： $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Z e^2}{r_n^2}=m_e \frac{v_n^2}{r_n}$ ，可以得到 $m_e v_n=\sqrt{\frac{Z e^2 m_e}{4 \pi \varepsilon_0 r_n}}$

由上述 $r_n$ 和 $m_ev_n$ 的表达式，可以计算得到轨道角动量为： $L_n=m_ev_nr_n=\sqrt{\frac{Z e^2 m_e r_n}{4 \pi \varepsilon_0}}=n \hbar ;(n=1,2,3, \cdots)$

由上式可知，角动量也是量子化的。

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