必记的13个不定积分公式(详细推导)

前言

这些公式都是必记的！因为经常在考场上出现，如果现推的话又很容易出错和耗时间，故需要我们深刻地去记忆。
公式推导所得答案不唯一，若想检验答案正确性，可以通过对所得答案进行求导，若求导后的值和原式相同，则答案正确。

1 $\int cscxdx=ln|cscx-cotx|+C$

$$原式=\int \frac{cscx(cscx-cotx)}{cscx-cotx}dx=\int \frac{cs{c}^{2}x-cscxcotx}{cscx-cotx}dx$$$$=\int \frac{1}{cscx-cotx}d(cscx-cotx)$$$$=ln|cscx-cotx|+C$$

2 $\int secxdx=ln|secx+tanx|+C$

$$原式=\int \frac{secx(secx+tanx)}{secx+tanx}dx=\int \frac{se{c}^{2}x+secxtanx}{secx+tanx}dx$$$$=\int \frac{d(tanx+secx)}{secx+tanx}$$$$=ln|secx+tanx|+C$$

3 $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}=ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C$

注：tant的值可以通过画三角形辅助求解

令 $x=asect$, 则 $dx=asect\cdot tantdt,sect=\frac{x}{a},tant=\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{a}$
$$原式=\int \frac{asect\cdot tantdt}{\sqrt{a^{2}se{c}^{2}t-a^2}}=\int \frac{asect\cdot tantdt}{\sqrt{a^2(se{c}^{2}t-1)}}=\int \frac{sect\cdot tantdt}{tant}$$$$=\int sectdt=ln|sect+tant|+C=ln|\frac{x}{a}+\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{a}|+C$$$$将分母的a看成常数C，得最终结果：$$$$=ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C$$

4 $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=arcsin\frac{x}{a}+C$

令 $x=asint,则dx=acostdt,t=arcsin\frac{x}{a}$
$$原式=\int \frac{acostdt}{\sqrt{a^2-a^{2}si{n}^{2}t}}=\int \frac{acostdt}{acost}$$$$=\int 1dt=\int t+C$$$$=arcsin\frac{x}{a}+C$$

5 $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|+C$

令$x=atant,则dx=ase{c}^{2}tdt,$
$$原式=\int \frac{ase{c}^{2}tdt}{\sqrt{a^{2}ta{n}^{2}t+a^2}}=\int sectdt=$$$$=ln|sect+tant|+C$$

6 $\int \frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}ln|\frac{x-a}{x+a}|+C$

$$原式=\int \frac{dx}{(x+a)(x-a)}=\frac{1}{2a}\int \frac{x+a-x+a}{(x+a)(x-a)}$$$$=\frac{1}{2a}\int [\frac{1}{x-a}d(x-a)-\frac{1}{x+a}d(x+a)]$$$$=\frac{1}{2a}(ln|x-a|-ln|x+a|)+C$$$$=\frac{1}{2a}ln|\frac{x-a}{x+a}|+C$$

7 $\int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}arctan\frac{x}{a}+C$

令$x=atant,则dx=ase{c}^{2}tdt,t=arctan\frac{x}{a}$
$$原式=\int \frac{ase{c}^{2}tdt}{a^{2}se{c}^{2}t}=\int \frac{1}{a}dt=\frac{1}{a}t+C$$$$=\frac{1}{a}arctan\frac{x}{a}+C$$

8 $\int \frac{1}{1+e^x}dx=x-ln(1+e^x)+C$

$$原式=\int \frac{e^x}{e^x(1+e^x)}dx=\int \frac{d{e}^x}{e^x(1+e^x)}$$$$令e^x=t,则x=lnt$$$$原式=\int \frac{dt}{t(1+t)}=\int (\frac{1}{t}-\frac{1}{1+t})dt=ln|t|-ln|1+t|+C$$$$=x-ln(1+e^x)+C$$

9 $\int \sqrt{x^2+a^2}dx=\frac{x}{2}\sqrt{x^2+a^2}+\frac{a^2}{2}ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C$

$令x=atant,则dx=ase{c}^{2}tdt,tant=\frac{x}{a}$
$$原式=\int \sqrt{a^{2}ta{n}^{2}t+a^2}\cdot ase{c}^{2}tdt=\int a^{2}se{c}^{3}tdt=a^2\int se{c}^{3}tdt$$$$=a^2\int sec\cdot se{c}^{2}tdt=a^2\int sectdtant=a^2(sect\cdot tant-\int ta{n}^{2}tsectdt)$$$$=a^2(sect\cdot tant-\int (sec{t}^2-1)sectdt)=a^2(sect\cdot tant-\int se{c}^{3}tdt+\int sectdt)$$$$于是目前得到的关系式为:a^2\int se{c}^{3}tdt=a^2(sect\cdot tant-\int se{c}^{3}tdt+\int sectdt)$$$$移项得：a^2\int se{c}^{3}tdt=a^2(\frac{1}{2}sect\cdot tant+\frac{1}{2}ln|sect+tant|)+C$$$$=a^2(\frac{1}{2}\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{a}\cdot \frac{x}{a}+\frac{1}{2}ln(\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{a}+\frac{x}{a}))+C(sect可通过画三角形求解)$$$$下一步将ln中的a化入常数项C里去，然后化简整个式子：$$$$=\frac{x}{2}\sqrt{x^2+a^2}+\frac{a^2}{2}ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C$$

10 $\int \sqrt{x^2-a^2}dx=\frac{x}{2}\sqrt{x^2-a^2}-\frac{a^2}{2}ln(x+\sqrt{x^2-a^2})+C$

$令x=asect,则dx=asect\cdot tantdt$
$$原式=\int \sqrt{a^{2}se{c}^{2}t-a^2}\cdot asect\cdot tantdt=\int a^{2}sect\cdot ta{n}^{2}tdt$$$$=a^2\int sect(se{c}^2-1)dt=a^2\int (se{c}^{3}tdt-sectdt)$$$$前面求过，\int se{c}^{3}t=\frac{1}{2}(sect\cdot ta{n}^{2}t+ln|sect+tant|)$$$$\therefore 原式=a^2(\frac{1}{2}(sect\cdot ta{n}^{2}t+ln|sect+tant|)-ln|sect+tant|)+C$$$$接下来的具体化简方法前面已经提到过了，此处省略$$$$=\frac{x}{2}\sqrt{x^2-a^2}-\frac{a^2}{2}ln(x+\sqrt{x^2-a^2})+C$$

11 $\int \sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}arcsin\frac{x}{a}+C$

$令x=asint,dx=acostdt,t=arcsin\frac{x}{a},cost=\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}(画三角形求解cost)$
$$原式=\int \sqrt{a^2-a^{2}si{n}^{2}t}\cdot acostdt=\int a^{2}co{s}^{2}tdt=\frac{a^2}{2}\int (1+cos2t)dt$$$$=\frac{a^2}{2}t+\frac{a^2}{4}sin2t+C=\frac{a^2}{2}arcsin\frac{x}{a}+\frac{a^2}{4}\cdot 2sintcost+C$$$$=\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}arcsin\frac{x}{a}+C$$

12 $\int tanxdx=-ln|cosx|+C$

$$原式=\int \frac{sinx}{cosx}dx=-\int \frac{dcosx}{cosx}=-ln|cosx|+C$$

13 $\int cotxdx=ln|sinx|+C$

$$原式=\int \frac{cosx}{sinx}dx=\int \frac{dsinx}{sinx}=ln|sinx|+C$$