【bzoj3512】DZY Loves Math IV 【杜教筛】

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题意：求$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\varphi(ij)$模$1000000007$的值。$n<=100005,m<=100005$。
题解：首先我们有一个结论。
若$|\mu(n)|=1$，则$\varphi(nm)=\sum_{k|gcd(n,m)}\varphi(\frac{n}{k})\varphi(m)$。
怎么证？
$\sum_{k|gcd(n,m)}\varphi(\frac{n}{k})\varphi(m)$
$=\varphi(m)\sum_{k|gcd(n,m)}\varphi(\frac{n}{k})$
$=\varphi(m)\sum_{k|gcd(n,m)}\frac{\varphi(n)}{\varphi(k)}$
$=\varphi(n)\varphi(m)\sum_{k|gcd(n,m)}\frac{1}{\varphi(k)}$
$=\varphi(n)\varphi(m)\sum_{k|gcd(n,m)}\frac{\frac{\varphi(gcd(n,m))}{\varphi(k)}}{\varphi(gcd(n,m))}$
$=\varphi(n)\varphi(m)\frac{1}{\varphi(gcd(n,m))}\sum_{k|gcd(n,m)}\frac{\varphi(gcd(n,m))}{\varphi(k)}$
$=\varphi(n)\varphi(m)\frac{1}{\varphi(gcd(n,m))}\sum_{k|gcd(n,m)}\varphi(\frac{gcd(n,m)}{k})$
$=\varphi(n)\varphi(m)\frac{1}{\varphi(gcd(n,m))}\sum_{k|gcd(n,m)}\varphi(\frac{gcd(n,m)}{k})$
$=\varphi(n)\varphi(m)\frac{gcd(n,m)}{\varphi(gcd(n,m))}$ 这是因为$\sum_{d|n}\varphi(d)=n$。
$=\varphi(\frac{n}{gcd(n,m)})\varphi(m)gcd(n,m)$
推导过程中用到了很多$|\mu(n)|=1$的性质。
这个式子就很显然了，因为根据$|\mu(n)|=1$，$\frac{n}{gcd(n,m)}$与$m$互质，于是$\varphi(\frac{n}{gcd(n,m)})\varphi(m)gcd(n,m)=\varphi(nm)$，想一想就知道了。于是就证完了！
若$|\mu(n)|=0$，设k为最小的正整数满足$k|n$，$\mu(k)=1$。
则$\varphi(nm)=\varphi(km)*\frac{n}{k}$
接下来我们继续推导。
我们令$S(n,m)=\sum_{i=1}^{m}\varphi(ni)$
则$ans=\sum_{i=1}^nS(i,m)$。
对于$S(n,m)$，若$|\mu(n)|=1$且$n≠1$，则
$S(n,m)$
$=\sum_{i=1}^m\varphi(ni)$
$=\sum_{i=1}^m\sum_{d|gcd(n,i)}\varphi(\frac{n}{d})\varphi(i)$
$=\sum_{d|n}\varphi(\frac{n}{d})\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}\varphi(i)$
$=\sum_{d|n}\varphi(\frac{n}{d})S(d,\lfloor\frac{m}{d}\rfloor)$
否则若$|\mu(n)|=0$且$n≠1$，
设k为最小的正整数满足$k|n$，$\mu(k)=1$，则
$S(n,m)=S(k,m)*\frac{n}{k}$
否则当$n=1$，
$S(n,m)=\sum_{i=1}^{m}\varphi(i)$
跟求$\mu$的前缀和类似，$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j|i}\varphi(j)=\frac{n(n+1)}{2}$，因为$\sum_{j|i}\varphi(j)=i$。
=>$\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{j}\rfloor}\varphi(j)=\frac{n(n+1)}{2}$
=>$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}\varphi(j)=\frac{n(n+1)}{2}$
=>$\sum_{j=1}^{n}\varphi(j)=\frac{n(n+1)}{2}-\sum_{i=2}^{n}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}\varphi(j)$，即把$i=1$带入。
=>$S(n,m)=\frac{m(m+1)}{2}-\sum_{i=2}^mS(n,\lfloor\frac{m}{i}\rfloor)$。
于是我们只需要开个map无脑记搜乱搞即可。时间复杂度不会算= =
丑得不堪入目的 代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<map>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1000005;
const ll mod=1000000007;
int n,m,p[N];
bool vis[N];
ll ans,mu[N],phi[N],sum[N];
map<int,map<int,ll> >mp;
ll solve(int n,int m){
    if(m<=1){
        return phi[n*m];
    }else if(n==1){
        if(m<=1000000){
            return sum[m];
        }
        if(mp[n][m]){
            return mp[n][m];
        }
        ll res=1LL*m*(m+1)/2;
        for(int i=2,last;i<=m;i=last+1){
            last=m/(m/i);
            res-=solve(n,m/i)*(last-i+1)%mod;
            res%=mod;
        }
        return mp[n][m]=res;
    }else{
        if(mp[n][m]){
            return mp[n][m];
        }
        int tmp=0;
        for(int i=1;i*i<=n;i++){
            if(n%i==0&&mu[n/i]){
                tmp=i;
            break;
            }
        }
        if(!tmp){
            for(int i=sqrt(n);i>=1;i--){
                if(n%i==0&&mu[i]){
                    tmp=n/i;
                    break;
                }
            }
        }
        n/=tmp;
        ll res=0;
        for(int i=1;i*i<=n;i++){
            if(n%i==0){
                res+=phi[n/i]*solve(i,m/i)%mod;
                res%=mod;
                if(i*i!=n){
                    res+=phi[i]*(solve(n/i,m/(n/i)))%mod;
                    res%=mod;
                }
            }
        }
        n*=tmp;
        res=res*tmp%mod;
        return mp[n][m]=res;
    }
}
int main(){
    mu[1]=phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=1000000;i++){
        if(!vis[i]){
            p[++p[0]]=i;
            mu[i]=-1;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=1;j<=p[0]&&i*p[j]<=1000000;j++){
            vis[i*p[j]]=true;
            if(i%p[j]){
                mu[i*p[j]]=-mu[i];
                phi[i*p[j]]=phi[i]*(p[j]-1);
            }else{
                phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];
                break;
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=1000000;i++){
        sum[i]=sum[i-1]+phi[i];
        sum[i]%=mod;
    }
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        ans+=solve(i,m);
        ans%=mod;
    }
    printf("%lld\n",(ans+mod)%mod);
    return 0;
}