1. 拓扑序列
有向无环图是指一个无环的有向图。有向无环图可用来描述工程或系统的进行过程，如一个工程的施工图、学生课程间的制约关系图等。
用顶点表示活动，用弧表示活动间优先关系的有向无环图，称为顶点表示活动的网，简称AOV-网。
拓扑序列：在有向图G =（V，{E}）中，V中顶点的线性序列（v1,v2,v3,…,vn）称为拓扑序列。如果此序列满足条件：对序列中任意两个顶点vi，vj，在G中有一条从vi到vj的路径，则在序列中vi必排在vj之前。
AOV-网的特性：
① 若 vi 为 vj 的先行活动，vj 为 vk 的先行活动，则 vi 必为 vk 的先行活动，即先行关系具有可传递性。
② AOV-网的拓扑序列不唯一。如上图有向无环图的另一个拓扑序列为：C1，C2，C3，C8，C4，C5，C9，C7，C6。
拓扑排序（Topological Sort）的基本思想：
① 从有向图中选择一个无前驱的结点输出；
② 将此结点和以它为起点的边删除；
③ 重复①、②直到不存在无前驱的结点；
④ 若此时输出的结点数小于有向图中的顶点数，则说明有向图中存在回路，否则输出的顶点的顺序即为一个拓扑序列。
示例：
2. 拓扑排序的实现（以邻接表为例）
2.1 基本思想
入度为0的顶点即没有前驱的顶点，对于邻接表结构可以附设一个存放各顶点入度的数组indegree[]，于是有：
① 找G中无前驱的结点——查找indegree[i]为0的顶点i；
② 删除以 i 为起点的所有弧——对链在顶点 i 后面的所有邻接顶点 k，将对应的indegree[k]减1；
（注：若存储结构为邻接矩阵，则
① 找G中无前驱的结点——在邻接矩阵中找到值全为0的列；
② 删除以 i 为起点的所有弧——将矩阵中 i 对应的行全部置为0；）
为避免重复检测入度为0的顶点，可以设置一个辅助栈，若某一顶点的入度减为0，则将它入栈，每当输出某一顶点时，便将它从栈中删除，即出栈。
2.2 完整实现代码及运行结果
# include<stdio.h>
# include<malloc.h>
# define MAX_VERTEX_NUM 20
# define TRUE 1
# define FALSE 0
/*图的邻接表表示法*/
typedef char VertexData;
//弧结点结构
typedef struct ArcNode {
int adjvex; //该弧指向顶点的位置
struct ArcNode* nextarc; //指向下一条弧的指针
}ArcNode;
//表头结点结构
typedef struct VertexNode {
VertexData data; //顶点数据
ArcNode* firstarc; //指向该顶点的第一条弧的指针
}VertexNode;
//邻接表结构
typedef struct {
VertexNode vertex[MAX_VERTEX_NUM];
int vexnum, arcnum; //图的顶点数和弧数
}AdjList;
/*求顶点位置*/
int LocateVertex(AdjList* G, VertexData v) {
int k;
for (k = 0; k < G->vexnum; k++) {
if (G->vertex[k].data == v)
break;
}
return k;
}
/*创建有向图的邻接表*/
int CreateAdjList(AdjList* G) {
int i, j, k;
VertexData v1, v2;
ArcNode* p;
printf("输入图的顶点数和弧数："); //输入图的顶点数和弧数
scanf("%d%d", &G->vexnum, &G->arcnum);
printf("输入图的顶点：");
for (i = 0; i < G->vexnum; i++) {
//输入图的顶点，初始化顶点结点
scanf(" %c", &(G->vertex[i].data));
G->vertex[i].firstarc = NULL;
}
for (k = 0; k < G->arcnum; k++) {
printf("输入第%d条弧的两个顶点：", k + 1);
scanf(" %c %c", &v1, &v2); //输入一条弧的两个顶点
i = LocateVertex(G, v1);
j = LocateVertex(G, v2);
p = (ArcNode*)malloc(sizeof(ArcNode)); //申请新弧结点
p->adjvex = j;
p->nextarc = G->vertex[i].firstarc;
G->vertex[i].firstarc = p;
}
}
/*顺序栈的存储结构，辅助栈*/
typedef struct {
int elem[MAX_VERTEX_NUM]; //用于存放栈中元素的一维数组
int top; //存放栈顶元素的下标，top为-1表示空栈
}SeqStack;
/*初始化顺序栈*/
void InitStack(SeqStack* S) {
S->top = -1;
}
/*判空*/
int IsEmpty(SeqStack* S) {
if (S->top == -1) //栈为空
return TRUE;
else
return FALSE;
}
/*顺序栈进栈*/
int Push(SeqStack* S, int x) {
if (S->top == MAX_VERTEX_NUM - 1) //栈已满
return FALSE;
S->top++;
S->elem[S->top] = x; //x进栈
return TRUE;
}
/*顺序栈出栈*/
int Pop(SeqStack* S) {
if (S->top == -1) //栈为空
return FALSE;
S->top--;
return TRUE;
}
int indegree[MAX_VERTEX_NUM]; //存放各顶点入度
/*求各顶点入度算法*/
void FindID(AdjList G) {
int i;
ArcNode* p;
for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
indegree[i] = 0;
for (i = 0; i < G.vexnum; i++) {
p = G.vertex[i].firstarc;
while (p != NULL) {
indegree[p->adjvex]++;
p = p->nextarc;
}
}
}
/*拓扑排序算法*/
int TopoSort(AdjList G) {
int i, count = 0, k;
SeqStack S;
ArcNode* p;
FindID(G); //求各顶点入度
InitStack(&S); //初始化辅助栈
for (i = 0; i < G.vexnum; i++) {
if (indegree[i] == 0)
Push(&S, i); //将入度为0的顶点入栈
}
while (!IsEmpty(&S)) {
i = S.elem[S.top];
Pop(&S);
printf("%c ", G.vertex[i]);
count++;
p = G.vertex[i].firstarc;
while (p != NULL) {
k = p->adjvex;
indegree[k]--; //i号顶点的每个邻接点的入度减1
if (indegree[k] == 0)
Push(&S, k); //若入度减为0则入栈
p = p->nextarc;
}
}
if (count < G.vexnum) {
printf("该图存在回路！\n");
return FALSE;
}
else
return TRUE;
}
int main() {
AdjList G;
CreateAdjList(&G);
printf("\n拓扑排序：");
TopoSort(G);
return 0;
}
运行结果
参考：耿国华《数据结构——用C语言描述（第二版）》
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