有界变差函数

变差函数是Motheron在1965年提出的一种矩估计方法，为区域化变量的增量平方的数学期望，也就是区域化变量的增量的方差，很多学者直接将半变差函数称之为变差函数。

变差函数是地统计学特有的研究工具，不仅能够表征区域化变量的空间结构性，而且能够表征区域化变量的随机性，反映了区域化变量在某个方向上某一距离范围内的变化程度。

若在区间(a，b)中，函数f(x)能够表成Φ(x)一Ψ(x)的形状，而Φ与Ψ都是非减有界函数，则称f(x)在(a，b)中是有界变差的．易见两有界变差函数的和、差与积也都是有界变差的．

定义

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它的另外几种定义如下：

定义一

设区间(a，b)被点a=x0<x1<…<xn=b所划分，若

常小于一个与划分方法无关的常数，则称函数在(a，b)中有界变差．这种和数的上确界称为全变差 [1] ．

定义二

设f是定义在区间[a,b]上的函数，考察[a,b]上的任意一组分点：a=x0<x1<…<xn=b，当分点变动时，称上确界

为f在[a,b]上的全变差(或全变分)．并记为

．若

<+∞．则称f为[a,b]上的有界变差函数(或囿变函数) [2] ．

定义三

设f(x)为定义在[a,b]上的函数，任取[a,b]的分割D：a=x0<x1<…<xn=b， [3]

令

称

(f,D)为f(x)关于分割D的变差，若变差

(f,D)都不超过某个正常数，即存在M>0，使对一切分割D，

(f,D)≤M，

则称f(x)为[a，b]上的有界变差函数。记

(f)=sup

(f，D)，称

(f)为f(x)在[a，b]上的全变差或总变差。

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1.单调函数是有界变差函数．

2.有限个有界变差函数的和、差、乘积仍为有界变差函数．

3.两个有界变差函数之商(分母不为零)仍为有界变差雨数．

4.(Jordan分解定理)f为[a,b]上的有界变差函数的充要条件是f可表为两个不减的非负函数之差．

5.（Lebesgue) 若f是[a,b]上的单凋函数．则f在[a,b]上几乎处处可微。

6.绝对连续函数必是有界变差函数． [2]

7.若f(x)是[a,b]上的有界变差函数，则∣f(x)∣在[a,b]上必为有界变差函数；

8.设f(x)是[a,b]上的有界变差函数，且a<c<b，则f(x)在[a，c]和[c，b]上均为有界变差函数，且有

(f)=

(f)+

(f)；

9.设f(x)，g(x)都是[a,b]上有界变差函数，α、β为两个常数，则αf(x)+βg(x)是[a,b]上的有界变差函数；

10.设f(x)，g(x)都是[a,b]上有界变差函数，则f(x)g(x)在[a,b]上亦为有界变差函数；

11.设{fn(x)}为[a,b]上的有界变差函数列，且{

(fn)}有界

=f(x)，则f(x)在[a,b]上为有界变差函数 [3] 。

推论：有界变差函数几乎处处可微 [2] ．