2018京东实习生笔试C++编程题：整除

1.题目描述：

2.思路:

• 先求出所有小于等于n的所有质数
• 然后计算每个质数的最大幂，使得该幂小于等于n
• 将所有质数的幂乘起来即为所求

3.理论依据

定理：(A % 987654321) * B % 987654321的结果，和(A * B) % 987654321的结果相等。
证明：

if A = m * 987654321 + n
then A * B = (m * B) * 987654321 + n * B
then (A * B) % 987654321 = n * B % 987654321 = (A % 987654321) * B % 987654321 
over

推论：由于计算结果很大，所以每次的结果都对987654321取余，不影响最终结果。

4.在解决思路步骤二时，有两个方案：

• 自己写函数，需要格外注意由于数值较大，所以使用long long
• 使用#include <cmath>函数：(long) pow(v.at(i), (long)floor(log(n) / log(v.at(i))))

5.代码如下：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
using std::vector;
using namespace std;

bool isPrime(long x){ // 判断是否是质数
    if (x > 10000) // 根据数据大小进行优化
    {
        for (long i = 2; i <= x / 100; i++)
        {
            if (x % i == 0)
                return false;
        }
    }
    else if (x > 100)
    {
        for (long i = 2; i <= x / 10; i++)
        {
            if (x % i == 0)
                return false;
        }
    }
    else{
        for (long i = 2; i <= x / 2; i++)
        {
            if (x % i == 0)
                return false;
        }
    }
    return true;
}

long long power(long x, long n){ // 计算质数i的最大幂，使得该幂小于等于n
    long long i = x;
    long long tmp = i;
    while (i <= n)
    {
        tmp = i;
        i *= x; // 100000 * 100000的时候必须用long long保存数值
    }
    return tmp;
}

int main()
{
    int n;
    vector<long> v;
    while (cin >> n){
        // 1.找到质数
        for (long i = 2; i <= n; i++)
        {
            if (isPrime(i))
            {
                v.push_back(i);
            }
        }
        // 2.求幂 3.连乘
        long long result1 = 1;
        long long result2 = 1;
        for (long i = 0; i < v.size(); i++)
        {
            // 方案一
            result1 = result1 * (long) pow(v.at(i), (long)floor(log(n) / log(v.at(i)))) % 987654321;
            // 方案二
            result2 = (result2 * power(v.at(i), n)) % 987654321;
        }
        v.resize(0);
        cout << result1 << endl;
        cout << result2 << endl;
    }

    return 0;
}