好用高效的python四元数库-quaternion

一、简介

https://github.com/moble/quaternion

这个库主要是在Numpy的基础上增加一个quaternion的类型，不仅实现了四元数相关操作的numpy实现，同时也将numpy的很多用法拓展到了相关四元数上。并且这个库的核心实现使用c语言实现的，保证了这个库在运算上的较高速度。

在近期进行四元数的学习中，比较了多个库，其中包括Scipy的旋转相关库，以及其他库，最终还是选择了这个库，原因在于其对于numpy的支持，但是由于其说明文档中只有四元数很小一部分的使用说明，但其实这个库所能实现的功能是远大于作者写的说明文档的，故写下这篇中文文档，供自己记录学习。

二、安装

如果是在conda环境下的，最好使用

conda install -c conda-forge quaternion

如果出现了，下载安装后No module name ‘quaternion’，可以适当降低numpy版本，目前numpy-1.20.3适配quater

nion-2022.4.3版本

也可以使用pip

python -m pip install --upgrade --force-reinstall numpy-quaternion

根据Releases · moble/quaternion (github.com)中说明的使用依赖仍然需要安装conda install scipy numba

三、基础用法

import numpy as np
import quaternion

首先构建几个四元数

q1 = np.quaternion(1,2,3,4)
q2 = quaternion.from_float_array([1,2,3,4])

# 生成的都是单位四元数
q3 = quaternion.from_rotation_matrix([[1,2,3],[1,2,3],[1,2,3]])
q4 = quaternion.from_euler_angles([1,2,3])
print(q1,q2,q3,q4)

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四元数叉乘

$(w_1,x_1,y_1,z_1) \otimes (w_2,x_2,y_2,z_2) = \begin{matrix} (&w_1w_2-x_1x_2-y_1y_2-z_1z_2,\\&w_1x_2+x_1w_2+z_1y_2-y_1z_2,\\&w_1y_2+y_1w_2+x_1z_2-z_1x_2,\\&w_1z_2+z_1w_2+y_1x_2-x_1y_2&) \end{matrix}$

# dot方法这里也是叉乘 
print(np.dot(q1,q2))
print(q1 * q2)
print(np.multiply(q1,q2))

四元数的模

$\lvert q \rvert = \sqrt{w^2+x^2+y^2+z^2}$

# 计算四元数的模
print(q1.abs())
print(q1.absolute())
print(np.sqrt(q1.norm()))
# 四元数的归一化
print(q1 / q1.abs())
print(q1.normalized())

四元数的Cayley norm

$\lVert q \rVert = w^2+x^2+y^2+z^2$

注意四元数的Norm和numpy中的np.linalg.norm方法不同，numpy中是Euclidean norm，而四元数中的norm是Cayley norm

print(q1.norm())

四元数的共轭与逆

四元数的共轭就是让四元数的向量部分取负 $q^* = (w,x,y,z)^* = (w,-x,-y,-z)$

四元数的逆就是四元数的共轭除以它的Cayley norm $q^{-1} = \frac{q^*}{\lVert q \rVert}$

一般用单位四元数，此时它的逆和共轭是相等的

# 四元数求共轭
print(q1.conjugate())
# 四元数求逆
print(q1.inverse())

# 单位四元数的共轭和逆是相等的
q_normolized = q1.normalized()
print(q_normolized.conjugate())
print(q_normolized.conjugate() / q_normolized.norm())

两个四元数间的旋转量

表示一个方位到另一个方位的旋转量

$q = q_{begin}^* * q_{after}$ （ $q_{begin},q_{after}$ 是单位四元数）

$q = q_{begin}^{-1} * q_{after}$ （ $q_{begin},q_{after}$ 不是单位四元数）

q = q3.conjugate() * q4
print(q)
# 要注意四元数叉乘顺序
print(q * q3)
print(q3 * q)
print(q4)


q3New = 2 * q3
print(q3New)
q = q3New.inverse() * q4
print(q.normalized())

四元数点乘

用于度量两个四元数的相似性，和向量的点乘类似，两四元数点乘绝对值越大其代表的旋转约相似，点乘趋近于-1或者1，都意味着相似，因为 $(1, 0, 0, 0)$ 和 $(- 1, 0, 0, 0)$ 的意义是当旋转角为360度的整数倍时，方位没有改变

# 在quaternion库中没有对应的方法
def quatDot(q1,q2):
    return np.abs((q1.w * q2.w + q1.x * q2.x + q1.y * q2.y + q1.z * q2.z) / q1.absolute()*q2.absolute() )

四、参考

四元数基础 - 圣骑士wind - 博客园 (cnblogs.com)

四元数的基本运算_飘零过客的博客-CSDN博客_四元数运算