PINN深度学习求解微分方程系列一：求解框架

下面我将介绍内嵌物理知识神经网络（PINN）求解微分方程。首先介绍PINN基本方法，并基于Pytorch框架实现求解一维Poisson方程。
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1.PINN简介

神经网络作为一种强大的信息处理工具在计算机视觉、生物医学、 油气工程领域得到广泛应用, 引发多领域技术变革.。深度学习网络具有非常强的学习能力, 不仅能发现物理规律, 还能求解偏微分方程.。近年来，基于深度学习的偏微分方程求解已是研究新热点。内嵌物理知识神经网络（PINN）是一种科学机器在传统数值领域的应用方法，能够用于解决与偏微分方程 （PDE） 相关的各种问题，包括方程求解、参数反演、模型发现、控制与优化等。

2.PINN方法

PINN的主要思想如图1，先构建一个输出结果为$\hat{u}$的神经网络，将其作为PDE解的代理模型，将PDE信息作为约束，编码到神经网络损失函数中进行训练。

损失函数主要包括4部分：偏微分结构损失(PDE loss)，边值条件损失(BC loss)、初值条件损失(IC loss)以及真实数据条件损失(Data loss)。特别的，考虑下面这个的PDE问题，其中PDE的解$u(x)$在$\Omega \subset {\mathbb{R}}^d$定义，其中$\mathbf{x}=\left(x_1,\dots ,x_d\right)$：
$$f\left(\mathbf{x};\frac{\partial u}{\partial x_1},\dots ,\frac{\partial u}{\partial x_d};\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_1\partial x_1},\dots ,\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_1\partial x_d}\right)=0,\mathbf{x}\in \Omega$$
同时，满足下面的边界
$$\mathcal{B}(u,\mathbf{x})=0\text{ on }\partial \Omega$$
为了衡量神经网络$\hat{u}$和约束之间的差异，考虑损失函数定义：
$$\mathcal{L}\left(\mathbf{\theta }\right)=w_f{\mathcal{L}}_{PDE}\left(\mathbf{\theta };{\mathcal{T}}_f\right)+w_i{\mathcal{L}}_{IC}\left(\mathbf{\theta };{\mathcal{T}}_i\right)+w_b{\mathcal{L}}_{BC}\left(\mathbf{\theta },;{\mathcal{T}}_b\right)+w_d{\mathcal{L}}_{Data}\left(\mathbf{\theta },;{\mathcal{T}}_{data}\right)$$
式中：
$$\begin{array}{rl}{\mathcal{L}}_{PDE}\left(\mathbf{\theta };{\mathcal{T}}_f\right)& =\frac{1}{\left|{\mathcal{T}}_f\right|}\sum _{\mathbf{x}\in {\mathcal{T}}_f}{\Vert f\left(\mathbf{x};\frac{\partial \hat{u}}{\partial x_1},\dots ,\frac{\partial \hat{u}}{\partial x_d};\frac{{\partial }^2\hat{u}}{\partial x_1\partial x_1},\dots ,\frac{{\partial }^2\hat{u}}{\partial x_1\partial x_d}\right)\Vert }_2^2\\ {\mathcal{L}}_{IC}\left(\mathbf{\theta };{\mathcal{T}}_i\right)& =\frac{1}{\left|{\mathcal{T}}_i\right|}\sum _{\mathbf{x}\in {\mathcal{T}}_i}\Vert \hat{u}(\mathbf{x})-u(\mathbf{x}){\Vert }_2^2\\ {\mathcal{L}}_{BC}\left(\mathbf{\theta };{\mathcal{T}}_b\right)& =\frac{1}{\left|{\mathcal{T}}_b\right|}\sum _{\mathbf{x}\in {\mathcal{T}}_b}\Vert \mathcal{B}(\hat{u},\mathbf{x}){\Vert }_2^2\\ {\mathcal{L}}_{Data}\left(\mathbf{\theta };{\mathcal{T}}_{data}\right)& =\frac{1}{\left|{\mathcal{T}}_{data}\right|}\sum _{\mathbf{x}\in {\mathcal{T}}_{data}}\Vert \hat{u}(\mathbf{x})-u(\mathbf{x}){\Vert }_2^2\end{array}$$
$w_f$，$w_i$、$w_b$和$w_d$是权重。${\mathcal{T}}_f$，${\mathcal{T}}_i$、${\mathcal{T}}_b$和${\mathcal{T}}_{data}$表示来自PDE，初值、边值以及真值的residual points。这里的${\mathcal{T}}_f\subset \Omega$是一组预定义的点来衡量神经网络输出$\hat{u}$与PDE的匹配程度。

3.求解问题定义

$\begin{array}{rl}\frac{{\mathrm{d}}^{2}u}{\mathrm{d}{x}^2}& =-0.49\cdot \sin (0.7x)-2.25\cdot \cos (1.5x)\\ u(-10)& =-\sin (7)+\cos (15)+1\\ u(10)& =\sin (7)+\cos (15)-1\end{array}$
真实解为
$u:=\sin (0.7x)+\cos (1.5x)-0.1x$

4.结果展示