四元数与旋转矩阵之间的转换

在https://blog.csdn.net/fengbingchun/article/details/130039337 中介绍了相机外参及相机的位姿R,t，其中R为3*3旋转矩阵(R的逆矩阵与R的转置矩阵相同)，t为3*1平移向量，R,t组合成3*4的矩阵。
在instant-ngp中执行scripts/colmap2nerf.py过程中，colmap会生成colmap_text/images.txt文件，此文件包含相机的外参信息，每两行定义一幅图像的信息：

IMAGE_ID, QW, QX, QY, QZ, TX, TY, TZ, CAMERA_ID, NAME
POINTS2D[] as (X, Y, POINT3D_ID)

其中，QW, QX, QY, QZ, TX, TY, TZ为相机的外参，四元数(QW, QX, QY, QZ)和平移向量(TX, TY, TZ)，四元数(quaternion)是使用Hamilton约定来定义的。
注：以下内容来自网络整理
在空间中准确定位、移动和旋转物体可以通过多种方式完成。更熟悉和更容易可视化的欧拉角(roll, pitch, yaw)是有限的，在某些情况下应该用更强大的四元数代替。
四元数是用于旋转和拉伸(stretch)向量的数学运算符。
威廉·汉密尔顿(William Rowan Hamilton)在1843年发明了四元数，作为一种方法，允许他对向量进行乘法和除法，旋转和拉伸它们。
四元数的两种表示：一个四元数q拥有一个实部和三个虚部;q0,q1,q2,q3为实数；i,j,k为虚部的三个基；其实部可能位于第一位,也可能位于最后一位

(1).Hamilton: ijk=-1
(2).JPL: ijk=1

四元数Hamilton形式转旋转矩阵:

旋转矩阵转四元数Hamilton形式，参考： matrixToQuaternion

以下分别调用opencv, eigen, pyquaternion接口的实现：

1.opencv的实现：

void quaternion_to_rotate_matrix(double qvec[4])
{
	double m11 = 1 - 2 * std::pow(qvec[2], 2) - 2 * std::pow(qvec[3], 2);
	double m12 = 2 * qvec[1] * qvec[2] - 2 * qvec[0] * qvec[3];
	double m13 = 2 * qvec[3] * qvec[1] + 2 * qvec[0] * qvec[2];

	double m21 = 2 * qvec[1] * qvec[2] + 2 * qvec[0] * qvec[3];
	double m22 = 1 - 2 * std::pow(qvec[1], 2) - 2 * std::pow(qvec[3], 2);
	double m23 = 2 * qvec[2] * qvec[3] - 2 * qvec[0] * qvec[1];

	double m31 = 2 * qvec[3] * qvec[1] - 2 * qvec[0] * qvec[2];
	double m32 = 2 * qvec[2] * qvec[3] + 2 * qvec[0] * qvec[1];
	double m33 = 1 - 2 * std::pow(qvec[1], 2) - 2 * std::pow(qvec[2], 2);

	std::cout << "result:" << "\n";
	std::cout << "[" << m11 << ", " << m12 << ", " << m13 << ";" << "\n";
	std::cout << m21 << ", " << m22 << ", " << m23 << ";" << "\n";
	std::cout << m31 << ", " << m32 << ", " << m33 << "]" << "\n";
}

int test_quaternion()
{
	std::vector<double> data = {
		2.044289726145588e-004, -0.2587487517264626, -0.9659446369688031,
		-0.9993063898830017, -3.602307923217642e-002, 9.438056030485108e-003,
		-3.723838540803551e-002, 0.9652727185840433, -0.2585766451355823
	};

	// 1. rotate matrix to quaternion(Hamilton)
	cv::Mat mat(3, 3, CV_64FC1, data.data());
	cv::Quatd q1 = cv::Quatd::createFromRotMat(mat);
	std::cout.precision(16);
	std::cout << "w:" << q1.w << ", x:" << q1.x << ", y:" << q1.y << ", z:" << q1.z << "\n";

	// 2. quaternion(Hamilton) to rotate matrix
	cv::Quatd q2 = cv::Quatd(q1.w, q1.x, q1.y, q1.z);
	cv::Matx<double, 3, 3> R = q2.toRotMat3x3();
	std::cout << R << "\n";

	double arr[4] = { q1.w, q1.x, q1.y, q1.z };
	quaternion_to_rotate_matrix(arr);

	return 0;
}

执行结果如下所示：

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2.Eigen的实现：

int test_quaternion()
{
	Eigen::Matrix3d matrix3d;
	matrix3d << 2.044289726145588e-004, -0.2587487517264626, -0.9659446369688031,
		-0.9993063898830017, -3.602307923217642e-002, 9.438056030485108e-003,
		-3.723838540803551e-002, 0.9652727185840433, -0.2585766451355823;

	// 1. rotate matrix to quaternion(Hamilton)
	Eigen::Quaterniond q;
	q = matrix3d;
	std::cout.precision(16);
	std::cout << "w:" << q.w() << ", x:" << q.x() << ", y:" << q.y() << ", z:" << q.z() << "\n";

	// 2. quaternion(Hamilton) to rotate matrix
	Eigen::Quaterniond q2(q.w(), q.x(), q.y(), q.z());
	Eigen::Matrix3d R = q2.toRotationMatrix();
	std::cout << "R:\n" << R << "\n";

	return 0;
}

执行结果如下图所示：

3.Python的pyquaternion实现：

import numpy as np
from pyquaternion import Quaternion

def calculate_quaternion(R):
	q = Quaternion(matrix=np.array(R))

	return q

def calculate_rotate_matrix(q):
	R = q.rotation_matrix

	return R

def qvec2rotmat(qvec):
	# from instant-ngp/scripts/colmap2nerf.py
	return np.array([
		[
			1 - 2 * qvec[2]**2 - 2 * qvec[3]**2,
			2 * qvec[1] * qvec[2] - 2 * qvec[0] * qvec[3],
			2 * qvec[3] * qvec[1] + 2 * qvec[0] * qvec[2]
		], [
			2 * qvec[1] * qvec[2] + 2 * qvec[0] * qvec[3],
			1 - 2 * qvec[1]**2 - 2 * qvec[3]**2,
			2 * qvec[2] * qvec[3] - 2 * qvec[0] * qvec[1]
		], [
			2 * qvec[3] * qvec[1] - 2 * qvec[0] * qvec[2],
			2 * qvec[2] * qvec[3] + 2 * qvec[0] * qvec[1],
			1 - 2 * qvec[1]**2 - 2 * qvec[2]**2
		]
	])

if __name__ == "__main__":
	R = [[2.044289726145588e-004, -0.2587487517264626, -0.9659446369688031],
		[-0.9993063898830017, -3.602307923217642e-002, 9.438056030485108e-003],
		[-3.723838540803551e-002, 0.9652727185840433, -0.2585766451355823]]
	q = calculate_quaternion(R)
	print(f"quaternion:\n{q}")

	R2 = calculate_rotate_matrix(q)
	print(f"R2:\n{R2}")

	R3 = qvec2rotmat([q[0], q[1], q[2], q[3]])
	print(f"R3:\n{R3}")

	print("test finish")

执行结果如下图所示：

由以上输出结果可知：

(1).旋转矩阵转四元数:pyquaternion和eigen结果一致；opencv与其它两者w,x和y,z只是符号相反，数值相同；还不清楚原因

(2).四元数转旋转矩阵：pyquaternion和eigen结果一致；opencv由四元数结果同样能转回到之前的原旋转矩阵

GitHub：

https://github.com/fengbingchun/NN_Test

https://github.com/fengbingchun/CUDA_Test

四元数与旋转矩阵之间的转换

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