熵编码-霍夫曼编码

熵编码法是一种独立于介质的具体特征的进行无损数据压缩的方案。

一种主要类型的熵编码方式是对输入的每一个符号，创建并分配一个唯一的前缀码，然后，通过将每个固定长度的输入符号替换成相应的可变长度前缀无关（prefix-free）输出码字替换，从而达到压缩数据的目的。每个码字的长度近似与概率的负对数成比例。因此，最常见的符号使用最短的码。

根据香农的信源编码定理，一个符号的最佳码长是 −logbP，其中 b 是用来输出的码的数目，P 是输入符号出现的概率。

霍夫曼编码和算术编码是两种最常见的熵编码技术。

下面是一个字母序列的熵编码的例子：

假设我们要对字母序列 "ABBCCCDDDDEEEEE" 进行熵编码。我们可以使用霍夫曼编码来实现熵编码。霍夫曼编码将每个符号编码为一个比特序列，使得出现频率高的符号具有较短的编码，而出现频率低的符号具有较长的编码。

首先，我们需要计算每个字母在序列中出现的概率。在这个例子中，字母A出现1次，字母B出现2次，字母C出现3次，字母D出现4次，字母E出现5次。因此，每个字母出现的概率如下所示：

字母A：1/15 = 0.0667
字母B：2/15 = 0.1333
字母C：3/15 = 0.2
字母D：4/15 = 0.2667
字母E：5/15 = 0.3333

接下来，我们可以使用这些概率来构建霍夫曼树。霍夫曼树是一种二叉树，它的每个叶子节点都对应一个符号，并且它的每个内部节点都对应一个权重，等于它的两个子节点的权重之和。在这个例子中，我们可以按照权重从小到大的顺序构建霍夫曼树。构建的过程如下：

1. 将所有字母看作单独的节点，将它们的权重设置为它们在序列中出现的概率。
2. 选择权重最小的两个节点，将它们作为左右子节点创建一个新的内部节点，并将它们的权重相加作为新节点的权重。
3. 重复步骤2，直到所有节点都被合并为一个根节点。

最终构建的霍夫曼树如下所示：

*
    / \
   E   *
      / \
     D   *
        / \
       C   *
          / \
         B   A

在霍夫曼树中，每个符号对应的编码是从根节点到该符号的叶子节点的路径，左子树表示0，右子树表示1。在这个例子中，字母E的编码为0，字母D的编码为10，字母C的编码为110，字母B的编码为111，字母A的编码为1100。最终的编码为 "010111011111111"，共15个比特，可以被转换为比特流以进行传输或存储。

在解码端，解码器可以使用相同的霍夫曼树来还原原始字母序列。它从比特流中读取编码后的比特序列，并按照霍夫曼树的路径从根节点开始向下遍历，直到找到对应的叶子节点，即可确定原始字母序列。

总之，字母熵编码是一种无损压缩技术，它利用符号出现的概率分布来对符号进行编码，并尽可能地减小编码后的比特数。霍夫曼编码是一种常用的字母熵编码技术，它可以有效地压缩符号序列。