矩阵分析与应用(23)

学习来源：《矩阵分析与应用》 张贤达 清华大学出版社

矩阵求导

一、标量、向量、矩阵和函数

        对于一个函数 

根据函数  和自变量  的不同类型可以将函数  分为不同的种类。

1. 函数为标量

         为实值标量函数，用  表示。

1.1 自变量为标量

        函数的自变量是标量，用  表示。如：

1.2 自变量为向量

        函数的自变量是向量，用  表示。如：

1.3 自变量为矩阵

        函数的自变量是矩阵，用  表示。如：

2. 函数为向量

         为向量函数，用  表示。

2.1 自变量为标量

2.2 自变量为向量

2.3 自变量为矩阵

3. 函数为矩阵

         为矩阵函数，用  表示。

3.1 自变量为标量

3.2 自变量为向量

3.3 自变量为矩阵

二、求导

        求导的本质就是函数  中的每个  分别对自变量中的每个元素求偏导，最终将结果写成向量、矩阵的形式。

        例如：有

列向量形式的求导结果：

以行向量的形式展开：

因此，若函数  有  个  ，自变量  有  个元素，则求导后有  个结果，这  个结果可以按行向量排列、列向量排列或以矩阵形式排列。

三、矩阵求导结果的布局

1. 自变量为向量  的实值函数  

1.1 行向量偏导形式：

1.2 列向量偏导形式（梯度向量形式）：

与  互为转置。

2. 自变量为矩阵  的实值函数  

2.1 行向量偏导形式

        先把矩阵  按列划分转化为一个个列向量，再按顺序组成一个列向量，即：

然后按照函数为标量函数，自变量为向量的形式求导，得到：

2.2 Jacobian 矩阵形式

        先把自变量  转置，再对转置后的每个位置的元素求偏导，结果布局与  转置后的布局一致。

2.3 列向量偏导形式（梯度向量形式）

        先把自变量  按 2.1 中的操作列向量化，再按 1.2 的式子进行求导：

2.4 梯度矩阵形式

        直接对自变量  的每个位置的元素逐个求偏导，结果布局与  的布局一致。