LeetCode 第7题：整数反转（Python3解法）

1：问题描述

来源：LeetCode

难度：中等

---

问题详情：
给你一个 32 位的有符号整数 x ，返回将 x 中的数字部分反转后的结果。

如果反转后整数超过 32 位的有符号整数的范围 $[-2^{31}，2^{31}-1]$ ，就返回 0。

假设环境不允许存储 64 位整数（有符号或无符号）。

---

2：问题分析

2.1 时间复杂度和空间复杂度

在真正开始介绍各种算法前，先以表格形式展示各自的时间复杂度和空间复杂度:

算法	时间复杂度	空间复杂度
列表法	$O(log(x))$	$O(log(x))$
数学解析法	O($log(x)$)	$O(1)$

2.2 列表法

题目本身强调了不允许使用64位的类型，因此当反转后数值超过 32位数能够表达的$[-2^{31}，2^{31}-1]$ 范围，也就无法直接使用int类型表达。这是比较麻烦的一点，否则可以直接使用转为字符串类型，然后再反向切片然后转为int即可。

1. 使用列表从低位到高位依次存储x中的每一位的数值。
2. 然后使用同样的操作存储界限值
3. 首先比较两者的长度，如果x对应的反转列表长度较短，直接转换回int类型
4. 如果两者长度相等，则从高位到低位依次对比数值大小，如果x对应的数较小，则转换为int类型返回；如果x对应的数较大，说明数值溢出了，返回0.

2.2.1 代码

def reverse(x: int) -> int:
    sign = 1
    if x < 0:
        sign = -1

    def get_list(x):
        x_list = []
        while x:
            x, t = divmod(x, 10) # 与 x = x // 10, t= x%10等价
            x_list.append(t)
        return x_list

    def get_int(x_list):
        x = 0
        for i, item in enumerate(x_list):
            x += item * 10 ** (len(x_list) - i - 1)

        return x

    x = abs(x)
    x_list = get_list(x)  # 反转后的数值列表，因为转换为列表时出来的就是反的
    if sign == 1:
        top_list = get_list(2 ** 31)[::-1]  # 正常的边界值 + 1
    else:
        top_list = get_list(2 ** 31 + 1)[::-1]

    # 如果长度没有上限的大，那么不用担心这个反转后的数值超过边界值
    if len(x_list) < len(top_list):
        return get_int(x_list) * sign
    # 如果长度相等，那么就需要考虑是否超过界限：
    # 如果数值相等，那么说明刚好超过界限，直接返回0
    # 如果数值不等，那么就需要依次比较高位的数，如果有反转后的数值有高位大于界限，那么返回0
    # 如果高位小于界限，那么直接返回反转后的数值×符号位
    # 如果高位相等，则比较后边的高位值
    elif len(x_list) == len(top_list):
        if x_list == top_list:
            return 0
        for m, n in zip(x_list, top_list):
            if m > n:
                return 0
            elif m < n:
                return get_int(x_list) * sign

对于时间复杂度，因为int类型的数值长度$l=int({\log }_{10}\left(x\right))+1$计算得到，所以列表创建和遍历的时间复杂度为$O(log(x))$，因此该算法的时间复杂度为$O(log(x))$

空间复杂度同样为$O(log(x))$

2.3 数学解析法

虽然上述算法通过列表，避免了直接生成可能溢出的结果值，但是列表法的空间复杂度较高。

在介绍数学解析法之前，我们先考虑一个正数的不会溢出的情况。
假设$x=123$，那么反转的流程则是：

1. $123//10=12,123\%10=3$
2. $0\ast 10+3=3$
3. $12//10=1,12\%10=2$
4. $3\ast 10+2=32$
5. $1//10=0,1\%10=1$
6. $32\ast 10+1=321$

代码如下所示：

rev = 0
while x:
    x, t = divmod(x, 10) # 上述流程中的1、3、5步骤
    rev = rev * 10 + t #上述流程中的2、4、6步骤

同样以正数为例：
如果要保证反转后的数值不溢出，那么就需要最后一次执行的$rev\ast 10+t<=INT\_MAX$，这里$INT\_MAX=2^{31}-1$.

我们将$INT\_MAX$转换为如下形式:
$$INT\_MAX=\lfloor \frac{INT\_MAX}{10}\rfloor \times 10+7$$

那么需要：
$$rev\ast 10+t<=\lfloor \frac{INT\_MAX}{10}\rfloor \times 10+7$$
经过简单的变换后：
$$（rev-\lfloor \frac{INT\_MAX}{10}\rfloor ）\ast 10<=7-t$$

• 当$rev>\lfloor \frac{INT\_MAX}{10}\rfloor$时，左边的数值$>=10$，而右边的$0=<t<=9$,因此$7-t<10$,所以这个不等式是不成立的；
• 当$rev=\lfloor \frac{INT\_MAX}{10}\rfloor$时，左边的数值$=0$，而右边的$0=<t<=7$时不等式成立，同时可以考虑下，$rev=\lfloor \frac{INT\_MAX}{10}\rfloor$，这个$x$的长度应该和$INT\_MAX$是相同的，而最后一次的$t$则是$x$的最高位,根据题意其是$t=1,2$的，所以这个等式是必然成立的。
• 当$rev<\lfloor \frac{INT\_MAX}{10}\rfloor$时，左边的数值$<=-10$，而右边的$0=<t<=9$,因此$-2=<7-t<=7$,所以这个不等式是成立的；

因此通过以上的分析，当$rev<=\lfloor \frac{INT\_MAX}{10}\rfloor$时，反转后的数值不会溢出；反之，当$rev>\lfloor \frac{INT\_MAX}{10}\rfloor$时，反转后的数值会溢出。

2.3.1 代码

因为$INT\_MAX=2^{31}-1$, 而$x$的下限$INT\_MIN=-2^{31}$.
而$\lfloor \frac{INT\_MAX}{10}\rfloor =\lfloor \frac{|INT\_MIN|}{10}\rfloor$，所以我们直接使用$rev>\lfloor \frac{2^{31}}{10}\rfloor$作为数值溢出的判断条件。

同时首先得到符号值，然后取绝对值，将正数和负数的情况统一为正数情况处理。

def reverse2(x: int) -> int:
    rev = 0
    sign = 1
    max_rev = 2 ** 31 // 10
    if x < 0:
        sign = -1
    x = abs(x)
    while x:
        if rev > max_rev:
            return 0
        x, t = divmod(x, 10)
        rev = rev * 10 + t
    return rev * sign

时间复杂度同样是$O(log(x))$,而空间复杂度则只是$O(1)$级别的。