HeapPermute算法正确性和时间效率的分析

算法课的习题要求分析HeapPermute算法的正确性，实在是费劲，目前已花费鄙人数小时之久。参阅了之前11级和12级学长/学姐的博客，个人认为证明是错误的，所以自己整理了一个版本（分歧点列在了算法正确性分析的后面）。因为算法正确性的证明实在太麻烦，所以部分步骤有省略，望海涵。

0. 习题

HeapPermute(n)
//实现生成排列的 Heap 算法
//输入：一个正整数 n 和一个全局数组 A[1…n]（注意n是正整数，不是什么正正整数，题目近10年来一直有这个错误也是醉了）
//输出：A 中元素的全排列
if n = 1 　　　　　　　　(1)
　write A　　　　　　　 (2)
else 　　　　　　　　　(3)
　for i ← 1 to n do 　　　(4)
　　HeapPermute(n − 1) (5)
　if n is odd　　　　　　 (6)
　　swap A[1] and A[n] 　(7)
　else swap A[i] and A[n] (8)

注：全排列就是数组中的所有元素（各元素均不同）的排列顺序，如A=[1,2,3]时，其全排列就是[1,2,3], [1,3,2], [2,1,3], [2,3,1],[3,1,2], [3,2,1]. 该结果和顺序也是利用HeapPermute(3)算法处理数组A=[1,2,3]时的输出结果及其顺序。

为方便书写和阅读，下面的分析中将 “HeapPermute”简写为“HP”。

1. 算法正确性分析

设全局数组 $A$的长度为 $n(n为正整数)$. 经过分析, 可以得到如下待证明结论：

设 $k$ 为正整数且 $k\le n$. 在执行算法 HP($k$)后, 输出 $A$ 前 $k$ 位的全排列和后 $(n-k)$ 位的组合. 特别地, 当 $k=n$ 时, 输出的就是 $A$ 的全排列. 执行算法 HP($k$) 前后, 当 $k$ 为奇数时, $A$ 保持不变；当 $n$ 为偶数时, $A$ 的前 $k$ 位循环右移一位。
易见, 执行算法HP($n$)可以输出全局数组$A=[1..n]$ 的全排列是结论①的一个特例. 因此只需证明结论①。

下面用数学归纳法进行分析证明结论①. 假设全局数组 $A=[a_1,a_2,\cdots ,a_n]$, $n$ 为正整数。
　　(1) 当 $k=1$ 时, 执行 HP($k$) 后, 输出的 $[a_1,a_2,\cdots ,a_n]$ 是 $A$ 第 $1$ 位的全排列和 $A$ 后 $(n-1)$ 位的组合, $A=[a_1,a_2,\cdots ,a_n]$, 保持不变, 与结论相符；
　　(2) 当 $k=2$ 且 $k\le n$ 时, 执行 HP($k$) 后, 输出的 $[a_1,a_2,a_3,\cdots ,a_n]$ 和 $[a_2,a_1,a_3,\cdots ,a_n]$, 是 $A$ 前 $2$ 位的全排列和 $A$ 后 $n-2$ 位的组合, $A=[a_2,a_1,a_3,\cdots ,a_n]$ 且 $A$ 的前 $k$ 位循环右移一位, 与结论相符；
　　(3) 假设$k=2m-1(m为正整数)$ 且 $k<n$ 时, 执行 HP($k$) 后, 输出 $A$ 前 $k$ 位的全排列和后 $(n-k)$ 位的组合, 且 $A$ 保持不变. 当 $k=2m$ 时, 算法直接进入第4行. 对于$i=1,2,\cdots ,2m$时, 分别输出此时 $A$ 的前 $(2m-1)$ 位的全排列与 $A$ 的后 $(n-2m+1)$ 位的组合, 进入第6行, 由于 $n$ 为偶数, 将 $A$ 的第 $i$ 位与第 $k=2m$ 位互换. 上述 $i=1,2,\cdots ,2m$ 的所有操作, 仅改变了原始 $A$ 的前 $k=2m$ 位, 只是输出 $A$ 的前 $(2m-1)$ 个元素全排列和$A$ 的后 $(n-2m+1)$ 位的组合, 然后依次将 $A$ 的第 $1,2,\cdots ,2m$ 位调换至 第 $2m$ 位. 易见, 上述操作, 得到了 $A$ 的前 $k$ 位的全排列和后 $(n-k)$ 位的组合, 且 $A$ 的前 $k$ 位循环右移一位. 与结论相符；
　　(4) 假设$k=2m(m为正整数)$ 且 $k<n$ 时, 执行 HP($k$) 后, 输出 $A$ 前 $k$ 位的全排列和后 $(n-k)$ 位的组合, 且 $A$ 的前 $k$ 位循环右移一位. 类似(3)可以证明, 当$k=2m+1$ 时, 算法 HP($k$)的执行结果与结论相符。
　　因此，结论得证。

注：分歧点

个人认为之前几位学长/学姐的证明的错误之处在于假定的是HP($n$)和数组A(长度为$n$)的关系，而非HP($k$)与数组A的关系。这里$n$如题干所言是数组$A$的长度，$k$是正整数且$k\le n$. 如果假定的是HP($n$)和数组$A$的关系, 那么无法直接在原有逻辑上使用数学归纳法证明。原因在于证明的第二步有误。假设 HP($n-1$)对数组$A$(长度为$(n-1)$)的操作满足结论，说明的是HP($n-1$)对长度为$(n-1)$的数组有效，而证明HP($n$)对数组A($n$)的操作满足结论需要的前提是HP($n-1$)对长度为$n$的数组有效(具体效果如本节开头的结论所述)。 欢迎各位的探讨~

2. 算法时间效率分析

分别考虑输出排列和交换两种操作的算法时间效率分析。
　　(1) 只考虑输出排列的耗时时, 由于算法本身输出的是长度为 $n$ 的数组 $A$ 的全排列, 因此算法复杂度 $T_1(n)=n!$；
　　(2) 只考虑交换操作的耗时时, 可以得到算法复杂度的如下递推表达式
$$T_2(n)=\{\begin{array}{ll}0,& \mathrm{i}\mathrm{f}n=1\\ n+T_2(n-1),& \mathrm{i}\mathrm{f}n\ge 2\end{array}$$
推导可以得到 $T_2(n)=n!+O(n^{n-1})$. 由于当 $n$ 为正整数时, $n!\ge n^{n-1}$ 始终成立。因此，由
O ( f ( n ) ) + O ( g ( n ) ) = O ( m a x { f ( n ) , g ( n ) } ) , O(f(n)) + O(g(n)) = O(max\{ f(n), g(n)\}), O(f(n))+O(g(n))=O(max{ f(n),g(n)}),
算法复杂度为 $T_2(n)=O(n^{n-1})$。

3. Python代码

(1) 简洁版代码

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Thu Apr  9 21:27:14 2020

@author: AbaloneVH
"""

import numpy as np

def swap(x, y):
  return y, x

def HP(n, A):
  if n == 1:
    print(A)
    return A
  else:
    for i in range(n):
      A = HP(n-1, A)
      if n%2 == 1:
        A[0], A[n-1] = swap(A[0], A[n-1])
      else:
        A[i], A[n-1] = swap(A[i], A[n-1])
    return A


N = 5 # 数列长度, 可调
A = np.arange(1,N+1)
A = HP(len(A), A)

(2) 测试用代码

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Thu Apr  9 21:27:14 2020

@author: AbaloneVH
"""

import numpy as np

def swap(x, y):
  return y, x

def HP(n, A, sum1, sum2):
    # sum1: 输出排列的次数
    # sum2: 交换的次数
  if n == 1:
    print(A)
    sum1 += 1
    return A, sum1, sum2
  else:
    for i in range(n):
      A, sum1, sum2 = HP(n-1, A, sum1, sum2)
      if n%2 == 1:
        A[0], A[n-1] = swap(A[0], A[n-1])
        sum2 += 1
      else:
        A[i], A[n-1] = swap(A[i], A[n-1])
        sum2 += 1
    return A, sum1, sum2


N = 5 # 数列长度, 可调
A = np.arange(1,N+1)
A, sum1, sum2 = HP(len(A), A, 0, 0)