[PKUSC2018]星际穿越

[PKUSC2018]星际穿越

题目大意：

有一排编号为\(1\sim n\)的\(n(n\le3\times10^5)\)个点，第\(i(i\ge 2)\)个点与\([l_i,i-1]\)之间所有点有双向边。\(q(q\le3\times10^5)\)次询问，每次对于\(l_i,r_i,x_i\)，求\(\frac{\sum_{y=l_i}^{r_i}dist(x_i,y)}{r_i-l_i+1}\)。

思路：

首先可以得到一个基本结论，从\(x_i\)出发到\(y\)的最短路中，一定存在至少一种满足路径上有且仅有第一步是向右走的。那么我们不妨对于每一个点\(x\)，求出\(x\)右侧\(l_i\)最小的\(i=min[x]\)，此时\(i\)的覆盖范围一定包含了\(x\)。让\(x\)向\(i\)连边就得到了一个树形结构。在树上每个结点建立主席树维护原图每个点到树上对应结点的距离。

询问时对于\(l_i,r_i,x_i\)，若区间\([l_i,r_i]\)内的结点都与\(x_i\)有连边，则答案就是\(r_i-l_i+1\)。否则那些在\(x_i\)连边范围外的那些点到\(x_i\)的距离，就是主席树上到\(min[x_i]\)的距离\(+1\)。到\(min[x_i]\)的距离可以主席树上询问，剩下的\(+1\)一并计算到\(r_i-l_i+1\)中即可。

时间复杂度\(\mathcal O(n\log n)\)。

源代码：

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<algorithm>
inline int getint() {
    register char ch;
    while(!isdigit(ch=getchar()));
    register int x=ch^'0';
    while(isdigit(ch=getchar())) x=(((x<<2)+x)<<1)+(ch^'0');
    return x;
}
const int N=3e5+1,SIZE=N*30;
int left[N],min[N],par[N];
class SegmentTree {
    private:
        struct Node {
            int left,right,tag,sum;
        };
        Node node[SIZE];
        int sz,new_node(const int &p) {
            node[++sz]=node[p];
            return sz;
        }
    public:
        int root[N];
        void modify(int &p,const int &b,const int &e,const int &l,const int &r) {
            p=new_node(p);
            if(b==l&&e==r) {
                node[p].tag++;
                return;
            }
            node[p].sum+=r-l+1;
            const int mid=(b+e)>>1;
            if(l<=mid) modify(node[p].left,b,mid,l,std::min(mid,r));
            if(r>mid) modify(node[p].right,mid+1,e,std::max(mid+1,l),r);
        }
        int query(const int &p,const int &b,const int &e,const int &l,const int &r) {
            if(!p) return 0;
            int ans=node[p].tag*(r-l+1);
            if(b==l&&e==r) return ans+node[p].sum;
            const int mid=(b+e)>>1;
            if(l<=mid) ans+=query(node[p].left,b,mid,l,std::min(mid,r));
            if(r>mid) ans+=query(node[p].right,mid+1,e,std::max(mid+1,l),r);
            return ans;
        }
};
SegmentTree t;
int gcd(const int &a,const int &b) {
    return b?gcd(b,a%b):a;
}
int main() {
    const int n=getint();
    for(register int i=2;i<=n;i++) left[i]=getint();
    min[par[n]=n]=left[n];
    for(register int i=n-1;i;i--) {
        min[i]=std::min(min[i+1],left[i]);
        par[i]=par[min[i]]?:i;
    }
    for(register int i=2;i<=n;i++) {
        if(par[i]==i) t.modify(t.root[i]=t.root[min[i]],1,n,1,i-1);
    }
    for(register int i=2;i<=n;i++) {
        t.root[i]=t.root[i]?:t.root[par[i]];
    }
    for(register int q=getint();q;q--) {
        const int l=getint(),r=getint(),x=getint();
        int ans=r-l+1;
        if(l<left[x]) ans+=t.query(t.root[left[x]],1,n,l,std::min(r,left[x]-1));
        const int d=gcd(ans,r-l+1);
        printf("%d/%d\n",ans/d,(r-l+1)/d);
    }
    return 0;
}