一、 模糊理论基础
1. 引入什么是模糊:
一粒种子肯定不能构成一堆,两粒也不能……但是人们承认一亿粒种子肯定能构成一堆,那么这个界限在哪儿呢?是否可以说325647粒种子不是一堆而325648粒种子则构成一堆呢? ——E. Borel
在上面这个问题当中,一堆得界定就是模糊的~
2. 介绍Zadeh
扎德(Zadeh,L.A.;1921年2月-2017年9月6日),美国自动控制专家,“模糊集之父”,美国工程科学院院士、俄罗斯自然科学院外籍院士、是1994年成立的国际欧亚科学院的5位创始院士之一。生于苏联巴库。 1949年获哥伦比亚大学电机工程博士。生前曾任加利福尼亚大学伯克利分校电机工程与计算机科学系教授。因发展模糊集理论的先驱性工作而获电气与电子工程师学会(IEEE)的教育勋章。
1965年,他发表了题为“模糊集”的开创性论文。模糊集和模糊逻辑的理念影响到了全世界的学人。据微软学术,他在模糊集方面的相关论著已被引用了将近3.38万次。
二、模糊
1. 模糊数学
模糊的英文为Fuzzy,它具有“不分明”,“边界不清”的意思。而数学是非常严格、非常精确的东西。模糊数学是用来描述、研究、处理事物所具有的模糊特征(即模糊概念)。“模糊”是指它的研究对象,“数学”是指它的研究方法。
2. 模糊概念
在自然语言中,常用的描述事物特征的一些概念是模糊的。如健康状况一栏中,填“好、比较好、良好等”,至于什么样的身体属于好,什么样的属于良,很难确切地规定。再如,将人按年龄分为“年轻人、中年人、老年人” (从宏观上把握事物的主要特征和便于处理,人为将其模糊化)。再如,在水箱液位、温度等控制中,有经验的操作工会根据被控制量的大小(高,过高、低),操作阀门等(开大、开小)。
3. 普通数学对模糊概念的描述
以年龄为例,传统的方法是规定一些域值来定义的。用y代表年龄,y<40为“年轻”,40<=y<60为“中年”,y>=60为“老年”。这种方法简单,但过于绝对化。实际上人是随着年龄的增长逐渐地由青年步入中年,再走向老年的,这些概念之间本来就没有明确的界限。传统数学的基础是集合论,这些集合的边界必须是明确的,一个对象要么属于,要么不属于,二者必居其一。传统数学不能描述和处理这种没有明确边界的模糊概念,模糊数学便应用而生。
4. 模糊技术的应用领域
地铁机车、机器人、过程控制、故障诊断、交通管理、医疗诊断、声音识别、图像处理、市场预测等领域。
三、模糊集合及其运算
1. 模糊集合(Fuzzy Sets)
给定论域U,U到[0,1]闭区间的任一映射μA
μA:U 属于[0,1]
u属于μA(u)
都确定U上的一个模糊子集A,简称模糊集。μA称为模糊集合A的隶属函数(Membership Function)。若论域中的元素用x表示,则μA(x)称为x属于A的隶属度(degree of membership)。
2.性质
隶属函数反映了论域中的元素属于该集合的程度。 μA(x)接近1,表示x属于A的程度高;μA(x)接近0,表示x属于A的程度低。
例如:用论域[1,100]上的模糊集A、B、C表示“年轻、中年、老年”,A、B、C的隶属函数μA(x)、μB(x)、μC(x)如图所示。
用模糊集合进行解释就是: 30岁的年轻程度为0.75。40岁的人已经不太年轻(0.25),比较接近中年,但属于中年的程度还不太大(0.5),50岁正值中年(1),即将走向“老年”。
3. 模糊集合的分类
(1)台集合
模糊集合A的台集As是一个普通集合,它由论域U中满足μA(u)>0的所有u组成。即
(2)单点模糊集
模糊集合A的台集仅有一个元素u0,且μA(u0)=1,则A就是单点模糊集,表示为:
(3)凸模糊集
若A为以实数R为论域的模糊子集,其隶属函数为μA(x),如果对于在任意实数a<x<b,都有
凸模糊集实质上就是隶属函数具有单峰值特性。
四、模糊集合的表示法
1.离散论域
(1) Zadeh表示法
(2)序偶表示法
(3)向量表示法
2.连续论域
Zadeh表示法为 :
五、模糊集合的基本运算
设论域U上的两个模糊子集A和B,它们之间的交、并、补运算定义如下。
1. F交集
2. F并集
3. F补集
六、常用隶属函数
1. 三角型隶属函数
Trimf(x,[a b c])
2.梯型隶属函数
Trapmf(x,[a b c d])
3.高斯型隶属函数
Gaussmf(x,[a c])
4.Sigmoid型隶属函数
Gaussmf(x,[a c])
5.一般的钟型隶属函数
Gbellmf()
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