平面最近点对问题详解

算法:   

 0:把所有的点按照横坐标排序   

1:用一条竖直的线L将所有的点分成两等份  

 2:递归算出左半部分的最近两点距离d1,右半部分的最近两点距离d2,取d=min(d1,d2)   

3:算出“一个在左半部分,另一个在右半部分”这样的点对的最短距离d3。

  4:结果=min(d1,d2,d3)    

关键就是这第3步。貌似这需要n^2的时间,把左边每个点和右边每个点都对比一下。其实不然。秘密就在这里。    首先,两边的点,与分割线L的距离超过d的,都可以扔掉了。   其次,即使两个点P1,P2(不妨令P1在左边,P2在右边)与分割线L的距离(水平距离)都小于d,如果它们的纵坐标之差大于d,也没戏。  就是这两点使得搜索范围大大减小:   对于左半部分的,与L的距离在d之内的,每个P1来说:右半部分内,符合以上两个条件的点P2最多只有6个!  原因就是:   d是两个半平面各自内,任意两点的最小距离,因此在同一个半平面内,任何两点距离都不可能超过d。   我们又要求P1和P2的水平距离不能超过d,垂直距离也不能超过d,在这个d*2d的小方块内,最多只能放下6个距离不小于d的点。    因此,第3步总的比较距离的次数不超过n*6。   

 第3步的具体做法是:    

3.1 删除所有到L的距离大于d的点。 O(n)  

 3.2 把右半平面的点按照纵坐标y排序。 O(nlogn)  

 3.3 对于左半平面内的每个点P1,找出右半平面内纵坐标与P1的纵坐标的差在d以内的点P2,计算距离取最小值,算出d3。 O(n*6) = O(n)    因为3.2的排序需要O(nlogn),   所以整个算法的复杂度就是O(n((logn)^2))。    


 改进:    我们对3.2这个排序的O(nlogn)不太满意。  既然整个算法是递归的,我们可以利用第2步的子递归中已经排好序的序列,在第3.2部归并这两个子列,这样3.2的复杂度变成了O(n)。    这样,整个算法就是O(nlogn)的。 

在二维平面上的n个点中,如何快速的找出最近的一对点,就是最近点对问题。

    一种简单的想法是暴力枚举每两个点,记录最小距离,显然,时间复杂度为O(n^2)。

    在这里介绍一种时间复杂度为O(nlognlogn)的算法。其实,这里用到了分治的思想。将所给平面上n个点的集合S分成两个子集S1和S2,每个子集中约有n/2个点。然后在每个子集中递归地求最接近的点对。在这里,一个关键的问题是如何实现分治法中的合并步骤,即由S1和S2的最接近点对,如何求得原集合S中的最接近点对。如果这两个点分别在S1和S2中,问题就变得复杂了。

    为了使问题变得简单,首先考虑一维的情形。此时,S中的n个点退化为x轴上的n个实数x1,x2,...,xn。最接近点对即为这n个实数中相差最小的两个实数。显然可以先将点排好序,然后线性扫描就可以了。但我们为了便于推广到二维的情形,尝试用分治法解决这个问题。

    假设我们用m点将S分为S1和S2两个集合,这样一来,对于所有的p(S1中的点)和q(S2中的点),有p<q。

    递归地在S1和S2上找出其最接近点对{p1,p2}和{q1,q2},并设

d = min{ |p1-p2| , |q1-q2| }

    由此易知,S中最接近点对或者是{p1,p2},或者是{q1,q2},或者是某个{q3,p3},如下图所示。



 

    如果最接近点对是{q3,p3},即|p3-q3|<d,则p3和q3两者与m的距离都不超过d,且在区间(m-d,d]和(d,m+d]各有且仅有一个点。这样,就可以在线性时间内实现合并。

    此时,一维情形下的最近点对时间复杂度为O(nlogn)。

    在二维情形下,类似的,利用分治法,但是难点在于如何实现线性的合并?



 

    由上图可见,形成的宽为2d的带状区间,最多可能有n个点,合并时间最坏情况下为n^2,。但是,P1和P2中的点具有以下稀疏的性质,对于P1中的任意一点,P2中的点必定落在一个d X 2d的矩形中,且最多只需检查六个点(鸽巢原理)。

    这样,先将带状区间的点按y坐标排序,然后线性扫描,这样合并的时间复杂度为O(nlogn),几乎为线性了。



  1. /** 
  2. 最近点对问题,时间复杂度为O(n*logn*logn) 
  3. */  
  4. #include <iostream>  
  5. #include <cstdio>  
  6. #include <cstring>  
  7. #include <cmath>  
  8. #include <algorithm>  
  9. using namespace std;  
  10. const double INF = 1e20;  
  11. const int N = 100005;  
  12.   
  13. struct Point  
  14. {  
  15.     double x;  
  16.     double y;  
  17. }point[N];  
  18. int n;  
  19. int tmpt[N];  
  20.   
  21. bool cmpxy(const Point& a, const Point& b)  
  22. {  
  23.     if(a.x != b.x)  
  24.         return a.x < b.x;  
  25.     return a.y < b.y;  
  26. }  
  27.   
  28. bool cmpy(const int& a, const int& b)  
  29. {  
  30.     return point[a].y < point[b].y;  
  31. }  
  32.   
  33. double min(double a, double b)  
  34. {  
  35.     return a < b ? a : b;  
  36. }  
  37.   
  38. double dis(int i, int j)  
  39. {  
  40.     return sqrt((point[i].x-point[j].x)*(point[i].x-point[j].x)  
  41.                 + (point[i].y-point[j].y)*(point[i].y-point[j].y));  
  42. }  
  43.   
  44. double Closest_Pair(int left, int right)  
  45. {  
  46.     double d = INF;  
  47.     if(left==right)  
  48.         return d;  
  49.     if(left + 1 == right)  
  50.         return dis(left, right);  
  51.     int mid = (left+right)>>1;  
  52.     double d1 = Closest_Pair(left,mid);  
  53.     double d2 = Closest_Pair(mid+1,right);  
  54.     d = min(d1,d2);  
  55.     int i,j,k=0;  
  56.     //分离出宽度为d的区间  
  57.     for(i = left; i <= right; i++)  
  58.     {  
  59.         if(fabs(point[mid].x-point[i].x) <= d)  
  60.             tmpt[k++] = i;  
  61.     }  
  62.     sort(tmpt,tmpt+k,cmpy);  
  63.     //线性扫描  
  64.     for(i = 0; i < k; i++)  
  65.     {  
  66.         for(j = i+1; j < k && point[tmpt[j]].y-point[tmpt[i]].y<d; j++)  
  67.         {  
  68.             double d3 = dis(tmpt[i],tmpt[j]);  
  69.             if(d > d3)  
  70.                 d = d3;  
  71.         }  
  72.     }  
  73.     return d;  
  74. }  
  75.   
  76.   
  77. int main()  
  78. {  
  79.     while(true)  
  80.     {  
  81.         scanf("%d",&n);  
  82.         if(n==0)  
  83.             break;  
  84.         for(int i = 0; i < n; i++)  
  85.             scanf("%lf %lf",&point[i].x,&point[i].y);  
  86.         sort(point,point+n,cmpxy);  
  87.         printf("%.2lf\n",Closest_Pair(0,n-1));  
  88.     }  
  89.     return 0;  
  90. }  

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