CausalSim (NSDI ‘23 Best Paper) 论文阅读笔记

前言

论文：CausalSim: A Causal Framework for Unbiased Trace-Driven Simulation (NSDI '23)
开源仓库：GitHub - CausalSim/Unbiased-Trace-Driven-Simulation

介绍：
CausalSim是NSDI '23的Best Paper。其主要工作是基于矩阵/张量完成和对抗学习设计了一个无偏的trace-driven模拟框架。CausalSim通过显示建模算法对于trace的影响，消除了传统模拟器中存在的偏差，从而实现与真实世界更为一致的模拟效果。CausalSim可以应用于ABR算法、异构服务器负载均衡等场景之中。

背景及相关资料：
该文章的主要篇幅均以ABR算法[1]为例进行叙述。在ABR算法中，由于码率决策（视频块大小）会对视频块吞吐量产生影响影响[2][3]，因此采集现有算法的trace并在传统模拟器（如Pensieve[4]的模拟器）进行回放会引入额外的偏差。为了消除这种影响，CausalSim将视频块吞吐量和底层网络环境进行区分[3]，并基于因果模型表征码率和网络环境选择对于吞吐量的影响。CausalSim基于Puffer[2][5]平台及数据集进行了详细的分析和实验验证。

• [1] DASH标准&ABR算法介绍
• [2] Learning in situ: a randomized experiment in video streaming (NSDI '20)
• [3] Lumos: towards Better Video Streaming QoE through Accurate Throughput Prediction (INFOCOM '22)
• [4] Neural Adaptive Video Streaming with Pensieve (SIGCOMM '17)
• [5] Puffer

注：

• 本笔记主要内容是基于原论文的总结、梳理和翻译。原论文涉及的概念很多，内容比较复杂，行文偏晦涩。为了便于读懂，本笔记补充了个人理解和文章内容之外的补充叙述（由“【】”标出）。由于本人对于因果推断、反事实估计、矩阵/张量完成和对抗学习等相关知识并不熟悉，因此部分内容仅供参考，不保证准确性
• 关于翻译：
  • “simulate”统一翻译为“模拟”而非“仿真”，避免与“emulate”（如Mahimahi）混淆
  • “trace”和“intervention”不太好在中文中找到合适的对应词汇，因此不作翻译
  • “trajectory”翻译为“轨迹”，在本文中其含义与“trace”类似
• 本笔记省略了原论文§6.3及以后的内容

总结

背景：基于随机对照实验（RCT）采集的trace的模拟

• 通过RCT采集不同算法的trace，包含吞吐量等信息
• 在评估新算法时，在模拟环境中进行回放trace，以表征外部（网络）环境
• 优势：简单（只需要实现对应的算法），快速（无需真实系统运行，模拟速度快，允许基于大规模数据进行验证）

问题：现有基于trace的模拟与真实世界存在偏差

• 通过RCT采集的trace数据包含了算法行为的影响，因此无法直接表征外部真实环境
  • 例如对ABR算法而言，其码率决策会影响到观测的视频块吞吐量，因此不同算法的trace中吞吐量不同
• 现有模拟器忽略了这部分影响，导致与真实世界存在较大偏差，从而影响模拟结果的准确性
  • 【影响：无法正确评估新算法性能；或对于机器学习类算法而言，会使得其离线训练环境与线上部署环境差异过大】

任务目标：利用其他算法的RCT trace数据，模拟新算法在相同外部环境下的行为表现（如取得的吞吐量）

解决方法：CausalSim

• 因果模型：将外部网络环境（如可用带宽）与trace数据（如应用吞吐量）分离，考虑算法动作对于trace数据的影响（如码率选择对视频块吞吐量的影响）
• 反事实估计：基于其他算法的RCT trace数据，估计外部的网络环境，并预测新算法的动作（反事实动作，可能未在trace中出现）会在相同外部环境下观测到什么样的结果（反事实观察）
• 矩阵/张量完成：将反事实估计视作矩阵/张量完成问题，利用RCT的分布不变性，基于其他算法trace数据（包含动作与对应的外部环境）恢复新算法动作对应的外部环境，最终利用对抗神经网络进行预测反事实观察

1 Introduction

研究背景概述

背景：基于trace的模拟（trace-driven simulation）

• 优势：相对于全系统模拟（如NS3）更为简便
• 组成：trace + intervention
  • trace：在intervention运行过程中采集的数据（如视频块码率、吞吐量等），在模拟中用于表征外部环境变化
  • intervention：表征感兴趣的组件（component of interest），如新设计、算法、架构等

问题：在真实系统中，很难保证外源trace假设成立。若该假设不成立，则模拟会产生偏差（bias）

• 外源trace假设（exogenous trace assumption）是过去的trace-driven模拟中存在一个关键假设，即假设intervention不会影响trace数据
• 例子：对于ABR算法而言，通常采集真实视频流的吞吐量作为trace，但trace中的吞吐量受到两方面因素的影响¹：
  • 底层网络的潜在因素（latent factors）：网络路径的瓶颈容量、竞争流量等
  • intervention，如算法的决策动作（action）：ABR算法的码率选择（对应不同的视频块大小）

解决思路：模拟新intervention时，需要考虑潜在因素和intervention（如算法动作）的影响，并且预测新intervention对于trace的影响

扫描二维码关注公众号，回复： 15618690 查看本文章

CausalSim介绍

方法：CausalSim，一个用于无偏trace-driven模拟的因果框架

• CausalSim显式建模intervention对trace数据的影响，因此放宽了外部trace假设
• CausalSim基于在一组固定算法下从随机控制试验 (randomized control trial，RCT) 中收集的trace，推断出：
  • 潜在因素（latent factors）：包含系统底层状况，如网络环境
  • 因果模型（causal model）：包括潜在因素、算法决策和观察到的trace数据
• 为了消除trace数据中的偏差，CausalSim模拟新算法时分为两步过程：
  • (i) 估计每个trace的每个时间步长的潜在因素
  • (ii) 基于估计的潜在因素，来预测感兴趣组件（intervention）的trace、动作（action）和观察（observation）变量的交替演变
    • 这里的潜在因素与收集trace时的相同

CausalSim的优势：提高了RCT trace的可用性，即可以基于有限的RCT数据来从中学习底层环境的潜在因素，从而帮助评估新算法

• 当intervention可能影响trace数据时，提高了trace-driven模拟的准确性（评估部分以ABR作为案例）
• 当外源trace无法定义时，支持对系统进行trace-driven模拟（评估部分以服务器负载均衡作为案例）

【以Puffer为例，其每个trace都是一个算法在RCT下得到的吞吐量，而非网络本身的可用带宽（即文中所说的潜在因素）】

CausalSim的核心：矩阵/张量完成（matrix / tensor completion）

• 观察：无偏的trace-driven模拟可以被视作矩阵（或张量）完成问题
• 考虑一个traec矩阵M（如果traec的维度更高则为张量），行对应于可能的动作，列对应于traec数据中的不同时间步长。对于每一列，一个动作的条目是“显示的（revealed）”，但其他所有条目（即未被算法执行的动作）都丢失了
• CausalSim的任务可以看作是恢复丢失的条目【即预测新算法采取的新动作（可能未在trace中出现过）对应的条目】

大量的工作表明，在满足关于矩阵和缺失数据模式的某些假设下，有可能从稀疏的观察中恢复矩阵
挑战：矩阵完成的典型假设不完全成立

• 典型假设：(1)矩阵是低秩的（low rank）【可以简单粗暴地理解为包含较多冗余的信息】，(2)显示的条目是随机的，并且(3)显示的条目足够多
• 分析：即便假设(1)广泛存在，但假设(2)(3)在本文的问题中并不成立（§4.3）
  • 每列仅有一个条目，低于低秩矩阵完成的信息理论约束（甚至对于秩为1的矩阵而言也不够）
  • 在本文的问题中，显示的条目不仅不是随机的，而且取决于矩阵的其他条目，因为行动由基于观察的算法所确定

CausalSim利用了两个关键insight来解决这个挑战：

• 基于外源潜在（latent）假设建立因果模型 (§3)：潜在因素是外源（exogenous）的，并且不受intervention的影响
  • 外源潜在（latent）假设放宽了标准trace-driven模拟中的外源trace假设
  • 例如：网络路径上的瓶颈链路速度等潜在因素不受ABR算法的影响，而ABR决策会影响观察到的轨迹（即视频块吞吐量）
• 基于RTC trace的潜在因素的分布不变性完成矩阵/张量填充
  • 由于每个trace对应的算法在RCT中完全随机，对于运行不同算法采集的trace，其潜在因素的分布应该相同，即潜在分布对于不同算法保持不变
  • RCT数据需要满足一些条件（如算法的数量和多样性），以基于分布不变性来保证低秩矩阵的可恢复性
  • CausalSim使用学习方法（learning method），基于对抗（adversarial）神经网络训练技术利用该分布不变性进行模拟（§5）

评估：

• 场景：ABR、服务器负载均衡
• 数据集及环境：真实世界和合成（synthetic）数据集，并在Puffer视频流测试平台上进行真实场景测试
• baseline（忽略了偏差）：专家知识模拟器ExpertSim【类似于Pensieve的模拟器】，标准监督学习模拟器SLSim
• 评价指标：（相对于真实环境的）模拟准确率
• 结果：
  • ABR案例研究：使用CausalSim对BOLA1²进行调优，基于贝叶斯优化调整BOLA1参数并在Puffer上进行部署，使其达到与BBA相似的质量，但只有其0.7x的卡顿率（相比原版优化了2.6x）；作为对比，ExpertSim调优后的BOLA的卡顿率是BBA的1.34x。这表明消除偏差对于从trace-driven模拟中得出准确结论至关重要
  • Puffer真实实验：CausalSim预测卡顿率的误差在28%以内，baseline则为49–68%和29–187％；视频质量与缓冲区占用水平也显示出相似的结果
  • 服务器负载均衡案例研究：使用合成环境对异构服务器作业负载均衡问题进行建模，CausalSim将平均模拟误差降低5.1x，而baseline的中值误差为124.3%。这表明CausalSim可以将trace-driven模拟应用于外源trace假设失效的系统

本文工作已开源：https://github.com/CausalSim/Unbiased-Trace-Driven-Simulation

2 Motivation

例子：预测BBA的缓冲区占用率

trace-driven模拟的目标：基于不同算法收集的trace（假设其潜在因素分布相同），预测新算法的系统轨迹（trajectory），如缓冲区、码率等
任务：仅使用来自其他（源）算法的trace数据，预测Puffer数据集中BBA（目标算法）的缓冲区占用分布

• 源算法：采集trace时运行的算法；目标算法：模拟的对象

Strawman1: ExpertSim

ExpertSim对每个视频块的缓冲区（buffer）动态进行建模，形如下式：
$$b_{t+1}=\max (0,b_t-\frac{s_t}{{\hat{c}}_t})+T$$

• $b_t$：下载第t个视频块前的缓冲区水平
• $s_t$：第t个视频块的视频块大小
• $T$：视频块时长
• ${\hat{c}}_t$：第t个视频块的吞吐量

【这个建模源自MPC (SIGCOMM '15)，并被Pensieve (SIGCOMM '17)的模拟器使用。简单来说就是，在下载每个视频块的过程中，播放缓冲区按照下载时间1:1匀速下降，最低为0（之后就卡顿了）；当视频块下载完成后，缓冲区水平增加一个视频块的时长】

ExpertSim依赖于外源trace假设（exogenous trace assumption）：假设不同算法的决策不会影响观察到的吞吐量，即对于源算法（BOLA2）和目标算法（BBA）而言，${\hat{c}}_t$是一样的

Strawman2: SLSim

SLSim使用监督学习来训练神经网络 (NN)，对系统动态进行建模

• 网络结构：全连接神经网络，包括2个隐层，每个隐层有128个ReLU激活神经元
• 输入特征：第$t$个视频块的缓冲区级别$b_t$，吞吐量${\hat{c}}_t$，块大小$s_t$
• 输出：第$t$个块的下载时间，以及由此产生的缓冲区级别$b_{t+1}$

训练数据中排除了BBA的trace数据

预测效果

结果：ExpertSim和SLSim与目标算法之间存在偏差

• ExpertSim的预测更接近源算法（BOLA2）的缓冲区占用率分布，但距离目标算法（BBA）的缓冲区占用率分布比较远
• SLSim表现与ExpertSim相似

原因：ABR算法决策会影响视频块的吞吐量（下图），导致外源trace假设失效

解决思路

• 如果trace中已包含网络容量（而非视频块吞吐量）【比如采集可用带宽trace而非吞吐量trace】，则外源trace假设成立
• 否则，需要从观察的吞吐量trace数据中推断出底层网络的潜在因素。具体而言，基于码率、块大小、吞吐量等观察值，估计每个视频块的网络容量
• 推断此类潜在混杂因素（latent confounders）并将其用于反事实预测（counterfactual prediction），是因果推断（causal inference）领域的核心问题【此处反事实预测的大概意思是，预测trace中不存在的动作对应的观测值】

方法：CausalSim，一个用于无偏trace-driven模拟的因果框架

• CausalSim放宽了外源trace假设，显示建模intervention对trace数据的影响，并推断出系统动态的潜在因素和因果模型
• 因此，CausalSim可以在模拟intervention时纠正trace数据中的偏差
• 效果（上文的图）：CausalSim能够更准确地匹配BBA的真实分布

总结

过去的simulator依赖于外源trace假设（exogenous trace assumption），忽略了模拟对象对于trace的影响，如下图所示（图中的箭头表示因果关系）：

• $a$：模拟的对象，如算法的动作（action）
• $o$：观察到的状态
• $u$：潜在外部状态，不在模拟的范围内
• $m$：采集的trace（变量可以是多维的，并随时间变化）

CausalSim采用外源潜在假设（exogenous latent assumption），考虑了模拟对象对于trace的影响（$a\to m$）

注：

• $a$和$u$可以相关（如网络环境变化会导致ABR算法决策变化），但二者之间存在相关性不代表二者存在因果关系
• CasualSim假设$a$和$u$之间不存在因果关系，即ABR无法影响网络环境

3 Model and Problem Statement

3.1 因果模型

模型定义

离散时间动态模型（类似于POMDP，即部分可观测马尔可夫决策过程）：
$$m_t={\mathcal{F}}_{trace}(a_t,u_t)\text{\hspace{1em}(1)}$$
$$o_{t+1}={\mathcal{F}}_{system}(o_t,m_t,a_t)\text{\hspace{1em}(2)}$$
定义：

• $m_t$：trace
• $u_t$：潜在因素
• $a_t$：intervention
• $o_t$：观测到的感兴趣组件的状态
• ${\mathcal{F}}_{trace}$：表征intervention对trace的影响（传统方法所忽略的部分）
• ${\mathcal{F}}_{system}$：表征感兴趣组件的动态

当intervention改变感兴趣的组件中的算法时，可以将$a_t$视为该算法在时间t采取的行动（action）

隐含假设：intervention不会影响系统其余部分的内部状态

适用场景

该因果模型适用于trace可能受到intervention影响的任何trace-driven模拟设置，例如

• 作业调度（Job scheduling）：在不同类型的机器下模拟工作负载的性能
  • trace：作业性能（如runtime）
  • intervention：调度决策
  • 潜在因素：每个作业的内在属性（如计算强度）或机器的潜在方面，例如并列的干扰工作负载
• 网络模拟（Network simulation）：模拟网络设计的某些方面（如拥塞控制、数据包调度、流量工程等）如何影响应用程序性能
  • trace：应用程序的流量模式
  • intervention：网络设计
  • 潜在因素：决定其流量需求的应用程序内部结构

外源trace假设不成立的影响：

• 对于ABR而言，有时可能影响不大，但会得到错误的结论
• 对于异构服务器的作业调度/负载均衡而言，给定特定机器上的作业性能trace，不可能仅仅通过为新机器分配重放trace完成模拟

不适用场景

该因果模型依赖于外源潜在假设，即假设潜在因素不受intervention影响，但这个假设不一定在所有系统中都成立，例如：

• 模拟网络路由策略（如 BGP）对观察到的视频流吞吐量的影响：改变路径会改变影响视频流的潜在网络条件
• 模拟分支预测器等CPU功能对指令吞吐量的影响：不能将指令/数据缓存的状态建模为外源潜在因素，因为更改分支预测器会显着改变它们的内部状态

模拟设计人员需要推理观察量和潜在量的因果结构，按照式(1)(2)的形式定义适当的模型
不过，不需要精确指定潜在或动态的含义（${\mathcal{F}}_{trace}$和${\mathcal{F}}_{system}$），CausalSim会从观察数据中学习

3.2 问题形式化

【这部分看不懂的话略过也可以】

假设有$N$个轨迹（trajectory）【对应于trace】，使用$K$个特定策略采集【对应于算法】
对每个轨迹 i ∈ { 1 , … , N } i\in\{1,\dots,N\} i∈{ 1,…,N}，观察$(m_t^i,o_t^i,a_t^i{)}_{t=1}^{H_i}$，其中$H_i$表示轨迹$i$的长度
假设轨迹是使用RCT生成的，即每个轨迹随机分配给$K$个策略之一

目标：在任意给定intervention（如新算法）下，估计$N$中每条轨迹的观察结果
形式化表述：对于任何给定的轨迹$i$和给定的一系列动作 { a ~ t i } t = 1 H i \{\tilde{a}_t^i\}_{t=1}^{H_i} { a~ti​}t=1Hi​​，从观察$o_1^i$开始，在相同的潜在因素序列 { u t i } t = 1 H i \{u_t^i\}_{t=1}^{H_i} { uti​}t=1Hi​​下，估计与式(1)和(2)一致的反事实观察 { o ~ t i } t = 1 H i \{\tilde{o}_t^i\}_{t=1}^{H_i} { o~ti​}t=1Hi​​

• { u t i } t = 1 H i \{u_t^i\}_{t=1}^{H_i} { uti​}t=1Hi​​：轨迹$i$的外源潜在因素

这是一个反事实估计问题（counterfactual estimation problem），因为它需要

• (i) 估计观察到的轨迹$i$的潜在 { u t i } t = 1 H i \{u_t^i\}_{t=1}^{H_i} { uti​}t=1Hi​​因素，并基于估计的潜在因素和反事实动作 { a ~ t i } t = 1 H i \{\tilde{a}_t^i\}_{t=1}^{H_i} { a~ti​}t=1Hi​​【新算法的动作，不存在于原trace中】，预测反事实trace { m ~ t i } t = 1 H i \{\tilde{m}_t^i\}_{t=1}^{H_i} { m~ti​}t=1Hi​​，对应式(1)
• (ii) 基于反事实trace { m ~ t i } t = 1 H i \{\tilde{m}_t^i\}_{t=1}^{H_i} { m~ti​}t=1Hi​​和反事实动作 { a ~ t i } t = 1 H i \{\tilde{a}_t^i\}_{t=1}^{H_i} { a~ti​}t=1Hi​​，预测反事实观察 { o ~ t i } t = 1 H i \{\tilde{o}_t^i\}_{t=1}^{H_i} { o~ti​}t=1Hi​​【模拟的最终目标，如BBA的缓冲区水平】，对应式(2)

分析：

• 对于(ii)，学习${\mathcal{F}}_{system}$是一个监督学习任务，因为其输出和输出都可以被观察到
• 但对于(i)， { u t i } t = 1 H i \{u_t^i\}_{t=1}^{H_i} { uti​}t=1Hi​​是无法观察的，因此无法通过监督方式学习${\mathcal{F}}_{trace}$

因此最终的任务是：估计 { u t i } t = 1 H i \{u_t^i\}_{t=1}^{H_i} { uti​}t=1Hi​​（潜在因素）并学习${\mathcal{F}}_{trace}$（intervention对trace的影响）

4 CausalSim: Theoretical Insights

4.1 反事实估计->矩阵完成

§3.2中明确了任务为估计反事实trace { m ~ t i } t = 1 H i \{\tilde{m}_t^i\}_{t=1}^{H_i} { m~ti​}t=1Hi​​，本节将反事实估计作为矩阵完成问题的变体

考虑一个$A\times U$的矩阵$M$，其在因果推断中被称为潜在结果矩阵：

• 行$A\ge 2$：对应潜在动作。即第1行对应动作1，第$A$行对应动作$A$
• 列$U={\sum }_{i=1}^N{H}_i$：对应数据集中的不同潜在因素，即不同$i$和$t$下的$u_t^i$
  • 为了对列进行排序，将$u_t^i$索引为元组$(i,t)$，并按照字典顺序排序
  • 【相当于是把所有trace不同时间步的潜在因素数据全部放在了一行里，该行中每一列代表一个trace的一个时间步的数据，形如：$(1,1),(1,2),\dots ,(1,H_1)(2,1),(2,2),\dots (N,H_N-1),(N,H_N)$】

在第$i$个轨迹的第$t$步：

• 观察量：$m_t^i={\mathcal{F}}_{trace}(a_t^i,u_t^i)$，在矩阵$M$中为$a_t^i$对应的行和$u_t^i$对应的列中的条目
  • a t i ∈ { 1 , … , A } a_t^i\in\{1,\dots,A\} ati​∈{ 1,…,A}，为有限多个动作之一
• 感兴趣的反事实量：${\tilde{m}}_t^i={\mathcal{F}}_{trace}({\tilde{a}}_t^i,u_t^i)$，注意${\tilde{a}}_t^i\ne a_t^i$，是矩阵$M$中$u_t^i$列中缺失的条目（trace不包含这部分数据）

总之，观察到的矩阵$M$中每一列仅有一个条目，因此目标是估计矩阵中的缺失值

思路：根据部分观察到的条目填充矩阵中缺失值的任务称为矩阵完成
挑战：标准矩阵补全方法不适用于该反事实估计问题（详见§4.3）
解决：使用RCT收集的数据的分布不变性（distributional invariance property）来完成潜在结果矩阵$M$

• 关键观察：在RCT中，在每个策略下收集的轨迹的潜在因素具有相同的分布【因此潜在因素（列）不受潜在动作（行）影响】
• 例如：在Puffer的RCT中，用户被随机分配一个ABR算法，因此每个 ABR 算法都将“体验”相同的底层潜在网络条件分布

【*这部分有个问题：不同action会对应的时间步长（传输时间）实际上是不一样的，因此不同trace的同一步对应的潜在因素并不相同。这是建模引入的偏差，即用步作为时间的基本单位不能保证不同trace数据在时间轴上的对齐。但这个问题的影响可能不大，因为CausalSim使用了神经网络（下文）而且需要很大的数据量进行训练，或许能把这部分偏差掩盖掉或者学出来。】

4.2 利用RCT完成矩阵

例子

考虑一个简单示例，其中$A=2$且$U=2n$，并且潜在结果矩阵$M$的秩等于1

• 秩等于1表明，对于某些$a\in {\mathbb{R}}^2$和$u\in {\mathbb{R}}^{2n}$且$M_{\alpha ,\beta }=a_{\alpha }\cdot u_{\beta }$，有$M=a{u}^T$

有$K=2$个策略，其中每个策略持续选择两个动作之一。假设分配给两个策略的轨迹中潜在因素的分布是相同的。对$M$的列进行重新排序，使得前$n$列对应于策略1轨迹的潜在因素，后$n$列对应策略2。
观察到的条目矩阵$M$如下：（其中⋆表示缺失值）：
$$\left[\begin{array}{cccccccc}{M}_{1,1}& M_{1,2}& \dots & M_{1,n}& \star & \dots & \star & \star \\ \star & \star & \dots & \star & M_{2,n+1}& \dots & M_{2,2n-1}& M_{2,2n}\end{array}\right]$$

考虑恢复矩阵中丢失的观测值$M_{2,1}$。对于第1列，已知$M_{1,1}$，由于矩阵的秩为1，有：
$$\frac{M_{2,1}}{M_{1,1}}=\frac{a_2{u}_1}{a_1{u}_1}=\frac{a_2}{a_1}\text{\hspace{1em}(3)}$$
因此，为了恢复$M_{2,1}$，需要估计$\frac{a_2}{a_1}$

考虑到RCT的分布不变性，当$n$足够大时，样本$u_1,\dots ,u_n$与样本$u_{n+1},\dots ,u_{2n}$来自同一个分布。因此，二者的期望值相等，即：
$$\frac{1}{n}\sum _{\beta =1}^n{u}_{\beta }\approx \frac{1}{n}\sum _{\beta =n+1}^{2n}{u}_{\beta }\text{\hspace{1em}(4)}$$
由于$M_{\alpha ,\beta }=a_{\alpha }\cdot u_{\beta }$，有：
$$\frac{{\sum }_{\beta =1}^n{M}_{1,\beta }}{{\sum }_{\beta =n+1}^{2n}{M}_{2,\beta }}=\frac{{\sum }_{\beta =1}^n{a}_1\cdot u_{\beta }}{{\sum }_{\beta =n+1}^{2n}{a}_2\cdot u_{\beta }}\approx \frac{a_2}{a_1}\text{\hspace{1em}(5)}$$
可以根据该式，基于观察到的条目，精确地计算式(3)中感兴趣的量，以完成矩阵
【注意：$n$较小的情况下，偏差可能会比较大】

形式化结果

上文中简单示例的idea可以推广更为复杂的场景。令$D$表示测量值数量，则$M_{\alpha ,\beta ,\gamma }\in {\mathbb{R}}^{A\times U\times D}$是一个张量。
其中：

• $\alpha$：动作
• $\beta$：潜在因素
• $\gamma$：测量值

以下定理提供了完成秩为$r$的张量的可能条件（详细信息和证明在附录A中）
定理4.1：如果满足以下条件，可以通过仅观察每一列中的一个$D$维元素（对应于一个潜在因素和动作）来恢复$M$的所有条目：

• 低秩分解（Low-Rank Factorization）：$M$是一个低秩张量（秩为$r$），即其与允许以下因式分解：$M_{\alpha ,\beta ,\gamma }={\sum }_{\ell =1}^r{a}_{\alpha \ell }{u}_{\beta \ell }{z}_{\gamma \ell }$
• 可逆性（Invertibility）：因式分解意味着存在一个从潜在编码到trace每个动作的线性映射，这种线性映射是可逆的
• 足够的测量：$D\ge r$
• 充足且多样（diverse）的策略（略）

4.3 讨论（略）

• 标准的张量完成不适用的原因
• 定理 4.1 的局限性

5 CausalSim: Algorithm

CausalSim建立在前面提出的见解的基础上，但用基于神经网络（NN）的学习算法取代了因式分解模型【可能是因为潜在因素不容易直接量化？】。

结构

CausalSim的目标是从观察到的轨迹$(o_{t+1},o_t,m_t,a_t)$中提取$u_t$并学习${\mathcal{F}}_{trace}$和${\mathcal{F}}_{system}$，其算法结构如下图所示：

组成部分：三个神经网络

• ${\mathcal{E}}_{\theta }$（潜在因素提取器，Latent Factor Extractor）：提取潜在因素，以$a_t$和$m_t$作为输入，计算$u_t$的估计值${\hat{u}}_t$
• ${\mathcal{W}}_{\gamma }$（策略鉴别器，Policy Discriminator）：以预测的潜在因素${\hat{u}}_t$作为输入，预测${\hat{u}}_t$对应的策略（算法）。如果分布不变性成立，则该预测无法做到准确
• ${\mathcal{P}}_{\phi }$：将${\mathcal{F}}_{trace}$和${\mathcal{F}}_{system}$组合为一个函数（对应一个NN）以简化学习问题，以反事实行动${\tilde{a}}_t$、观察$o_t$和预测的潜在因素${\hat{u}}_t$作为输入，计算反事实观察${\tilde{o}}_{t+1}$
  • 如果需要计算反事实trace${\tilde{m}}_t$的话，也可以为${\mathcal{F}}_{trace}$和${\mathcal{F}}_{system}$分别使用单独的NN

训练及推理开销：

• 在A100 Nvidia GPU上，CausalSim在56M数据点（230K streams）上的收敛时间不到10分钟
• 推理中的每个模拟步骤（在CPU上）花费的时间不到150μs
• 对相同数据量进行完整推理在单核CPU上花费不到6小时，在32核上不到20分钟

【本部分以下内容均为有关于CausalSim结构的分析，不感兴趣的话可以略过】
补充：论文的slides和presentation中进一步说明了CausalSim的结构设计（见：CausalSim Presentation Video）
CausalSim的目标是提取$u_t$并学习${\mathcal{F}}_{trace}$和${\mathcal{F}}_{system}$。首先，可以基于${\mathcal{E}}_{\theta }$来提取$u_t$，如下图：

但是由于$u_t$无法直接观测，所以不能通过监督学习的方式提取。但是可以基于预测的${\hat{u}}_t$结合观测的$a_t$再次预测$m_t$，由于$m_t$有标签，因此是一个典型的监督学习问题。具体而言，在上图的基础上再增加一个神经网络（${\mathcal{P}}_{\phi }$）用于学习${\mathcal{F}}_{trace}$（和${\mathcal{F}}_{system}$）即可，如下图所示：

这样做的问题是，两个神经网络学习到的结果很可能是把${\hat{u}}_t$学成了$m_t$。则在模拟新算法时，即${\mathcal{P}}_{\phi }$的输入从$a_t$换为${\tilde{a}}_t$时，该结构将无法给出准确的结果，如下图：

因此，基于RCT的分布不变性，考虑用对抗学习的方法，引入${\mathcal{W}}_{\gamma }$作为策略鉴别器。那么${\mathcal{P}}_{\phi }$的目标一是拟合给定的trace数据，二是欺骗策略鉴别器${\mathcal{W}}_{\gamma }$，使得分布不变性成立，最终如下图：

【${\mathcal{W}}_{\gamma }$和${\mathcal{P}}_{\phi }$两个NN的设计思想源自于对抗学习（adversarial learning）。具体而言，二者的损失函数有关联且符号相反，因此有对抗的效果，详见下文。】
【CausalSim对抗学习的思想：用一个神经网络${\mathcal{W}}_{\gamma }$来尽可能降低分布不变性（寻找对抗样本，即违背不变性的情况），用另一个神经网络${\mathcal{P}}_{\phi }$（学习对抗样本）来尽可能提高分布不变性，其目的是使整体算法的分布不变性更强（具有对抗鲁棒性）。】

【补充分析：
将式(1)代入式(2)可得：$o_{t+1}={\mathcal{F}}_{system}(o_t,{\mathcal{F}}_{trace}(a_t,u_t),a_t)$，其中$o_t$（包括$o_{t+1}$）和$a_t$已知，而$u_t$、${\mathcal{F}}_{trace}$和${\mathcal{F}}_{system}$均未知。
回想§2中的任务是利用BOLA2的RCT trace来预测BBA的缓冲区水平分布，因此CausalSim算法思想的抽象描述为：对于trace给出的观察值$(m_t,o_t,a_t)$，通过完成潜在结果矩阵$M$中缺失的$u_t$，预测每个反事实动作${\tilde{a}}_t$（目标算法的动作，未在原trace中出现）对应的反事实观察${\tilde{o}}_t$（包括${\tilde{o}}_{t+1}$）。
因此，为了实现任务目标，CausalSim需要预测$u_t$，并学习${\mathcal{F}}_{trace}$和${\mathcal{F}}_{system}$。】

训练过程

CausalSim 的训练过程交替进行（算法1）：

• (i) 使用鉴别损失${\mathcal{L}}_{disc}$训练策略鉴别器（${\mathcal{W}}_{\gamma }$）
• (ii) 使用聚合损失${\mathcal{L}}_{total}$训练其他模块（${\mathcal{P}}_{\phi }$）

训练策略鉴别器

原理：分布不变性意味着潜在因素$u$的分布在不同策略上保持不变。为了确保分布不变，首先使用${\mathcal{E}}_{\theta }$来提取潜在因素${\hat{u}}_t$，然后通过鉴别器搜索违反不变性（invariance violations）的情形，这是对抗性学习（adversarial learning）范式中的一种标准方法

目标：根据估计的潜在因素${\hat{u}}_t$，预测采取行动$a_t$的策略${\pi }_i$【鉴别器预测越准确，说明分布不变性越不成立】

损失函数：交叉熵（cross-entropy）
$${\mathcal{L}}_{disc}={\mathbb{E}}_B[-\log {\mathcal{W}}_{\gamma }(\pi |\hat{u})]$$

• 其中$B$为数据集$D$中采样的minibatch
• 为了最小化该损失，需要重复梯度衰减num_disc_it次，因为策略鉴别器需要多次迭代才能捕捉潜在因素的变化

训练模拟模块

原理：在这一步中，需要与观察结果保持一致，同时保持分布不变性。因此，用${\mathcal{E}}_{\theta }$计算潜在因素${\hat{u}}_t$，并用${\mathcal{P}}_{\phi }$模拟轨迹的下一步${\hat{o}}_{t+1}$

损失函数：聚合（aggregated）损失，将取负的鉴别损失${\mathcal{L}}_{disc}$与使用混合超参数$\kappa$的二次一致性（quadratic consistency【感觉类似于MSE】）损失相结合
$${\mathcal{L}}_{disc}={\mathbb{E}}_B[(o_{t+1}-{\hat{o}}_{t+1}{)}^2]-\kappa {\mathcal{L}}_{disc}$$

• 二次一致性损失可以换为适合特定类型变量的任何一致性损失，如Huber损失、交叉熵等
• 注意鉴别损失${\mathcal{L}}_{disc}$前的负号，这代表${\mathcal{P}}_{\phi }$的目标是最大化鉴别损失，即欺骗策略鉴别器${\mathcal{W}}_{\gamma }$以确保分布不变性。如果提取的潜在因素对于不同策略而言是不变的，那么策略鉴别器的表现不会比随机猜测更好

反事实估计

为了产生反事实估计，首先从观察到的数据中提取估计的潜在因素${\hat{u}}_t$。之后，使用提取的潜在因素${\hat{u}}_t$以及学习到的组合函数${\mathcal{P}}_{\gamma }$，从$o_1$开始一次一步地预测反事实观察${\hat{o}}_{t+1}$

6 Evaluation

6.1 ABR模拟准确性

任务：选择Puffer中5种算法的trace数据，基于其他4种源算法的trace来模拟目标算法

• 5种算法：BBA, BOLA1, BOLA2, Fugu-CL, Fugu-2019
• 3种目标算法：BBA, BOLA1, BOLA2

模拟BBA、BOLA1和BOLA2的卡顿率与视频质量（SSIM），CausalSim与Ground Truth之间的最为接近（误差线表明在4种源算法下取得的数值的最大值和最小值）

不同源算法的影响：对于ExpertSim和SLSim而言，它们表现最好的情况是源算法为BOLA2、目标算法为BOLA1的情形，但CausalSim对于在源算法不同的情况下表现都一样好

6.2 BOLA1性能调优

任务：在simulation中调整BOLA1的超参数来探索其帕累托边界曲线（Pareto frontier curve），对BOLA1进行性能优化（这部分是Puffer上的真实实验结果）

模拟结果：

• CausalSim发现BOLA1在Puffer上的性能不如BBA其实是参数设置问题（图中的点），通过调整参数，有希望对BOLA1实现性能提升
• ExpertSim则表明BOLA1的性能始终差于BBA

Puffer真实实验结果：经过参数调优后的BOLA1-CausalSim在与BBA取得了相似的视频质量的情况下，降低了卡顿率，证明了模拟的准确性

---

1. 关于视频流中可用带宽与吞吐量的区别，可以参阅Lumos (INFOCOM '22)的Motivation部分 ↩︎

2. 对于BOLA的介绍，可以参阅BOLA (INFOCOM ’16) 论文阅读笔记和Implementing BOLA-BASIC on Puffer ↩︎