只能买卖两次股票的情况下，如何最大化收益

原题见： https://leetcode.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-iii/

给定一个股票价格（按日期排序）的列表，在最多可以买卖两次的情况下，如何最大化收益；

比如：1, 2, 1, 3, 0, 4；

最大收益为6，在第三天买入，第四天卖出，第五天买入，第六天卖出；

先用动态规划的算法；用f(i, j) 表示在第i （from 0) 天到第j天，只买卖一次时的最大收益；那么，要计算买卖两次的收益，只需要找到一天k，使得f(0, k) + f(k + 1, n - 1)最大即可；

f(i, j) 是以下各式中的最大值：

1. 0； 如果第i天的价格高于第j天的价格，则不做交易收益最大；
2. prices(j) - prices(i); 第j天的价格减去第i天的价格；
3. f(i + 1, j)； 第i天不做交易，第i + 1天到第j天交易的最大收益；
4. f(i, j - 1); 

以下是主要的实现代码：

func maxProfit(prices []int) int {
	prices = compact1(prices)
	prices = compact2(prices)
	if len(prices) == 0 {
		return 0
	}
	n := len(prices)
	fx := make([][]int, n)

	for i := range fx {
		fx[i] = make([]int, n)
	}

	for k := 1; k < n; k++ {
		for i := 0; i+k < n; i++ {
			j := i + k
			fx[i][j] = max(0, prices[j]-prices[i])
			if k == 1 {
				continue
			}
			fx[i][j] = max(fx[i][j], fx[i+1][j])
			fx[i][j] = max(fx[i][j], fx[i][j-1])
		}
	}

	r := fx[0][n-1]
	for k := 1; k < n-1; k++ {
		if fx[0][k]+fx[k][n-1] > r {
			r = fx[0][k] + fx[k][n-1]
		}
	}

	return r
}

因为数据可能会很多，在处理之前，先对数据进行了压缩，只保留那些会影响收益的数据；比如1, 2, 3, 4，只需要保留1， 4; 4, 3, 2, 1 只需要保留4, 1;

这个算法的时间复杂度是o(n * n), 空间也需要o(n * n);

但这个题目还有更精简更快速也更优美的算法，令人印象深刻；具体的讨论可以参考 https://discuss.leetcode.com/topic/32288/2ms-java-dp-solution；

使用以下四个值表示当前的状态：

firstBuy: 第一次买入股票的收益；这个值表示为价格的负数，所以价格越低，收益越高；

firstSell： 第一次卖出股票的收益；firstSell = max(firstSell,  firstBuy + currentPrice); 卖出时的价格（加上）第一次买入时的收益（负值）；

secondBuy： 第二次买入股票时的收益；secondBuy = max(secondBuy, firstSell - currentPrice);

secondSell： 第二次卖出时的收益；secondSell = max(secondSell, secondBuy + currentPrice);

 代码实现：

func maxProfit2(prices []int) int {
	firstBuy, firstSell := math.MinInt32, 0
	secondBuy, secondSell := math.MinInt32, 0

	for _, price := range prices {
		if firstBuy < -price {
			firstBuy = -price
		}

		if firstSell < firstBuy+price {
			firstSell = firstBuy + price
		}

		if secondBuy < firstSell-price {
			secondBuy = firstSell - price
		}

		if secondSell < secondBuy+price {
			secondSell = secondBuy + price
		}
	}

	return secondSell
}