欧几里得算法（求最大公因子）及扩展欧几里得（求乘法逆元）

一、欧几里得算法

 

欧几里得算法又称辗转相除法，是指用于计算两个正整数a,b的最大公约数。gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)。

算法描述:

1. 输入：两个非负整数a,b，且a≥b。

2. 输出：a,b的最大公因子。

       (1)当b≠0时，作

    r←a mod b，a←b，b←r。

       (2) 返回(a)。

代码递归实现：

int gcd(int a,int b)
{
    //如果a小于b
    if(a<b)
    {
        int temp=a;
        a=b;
        b=temp;
    }
    if(b==0)return a;
    else return gcd(b,a%b);//递归
}

二、扩展欧几里得算法

 

扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x，y，使它们满足贝祖等式： ax+by = gcd(a, b) =d（解一定存在，根据数论中的相关定理）。

    递推算法：

输入：两个非负整数a,b且a≥b。

输出：d=gcd(a,b)与满足ax+by=d的整数x与y。

1. 若b=0，则d←a，x=1，y=0，返回(d,x,y)。

2. 设x2←1，x1=0，y2=1，y1=1。

3. 当b>0时，作

       (1) q←a/b，r←a-qb，x←x2-qx1，y←y2-qy1。

       (2) a←b，b←r，x2←x1，x1←x，y2←y1，y1←y。

4. d←a，x←x2，y=y2，返回(d,x,y)。

 

递归算法推导：

设 a>b。

1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；

2，a>b>0 时

设 ax1+ by1= gcd(a,b);

bx2+ (a mod b)y2= gcd(b,a mod b);

根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b) = gcd(b,a mod b);

则:ax1+ by1= bx2+ (a mod b)y2;

即:ax1+ by1= bx2+ (a - [a / b] * b)y2=ay2+ bx2- [a / b] * by2;

说明： a-[a/b]*b即为mod运算。[a/b]代表取小于a/b的最大整数。

也就是ax1+ by1 == ay2+ b(x2- [a / b] *y2);

根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2- [a / b] *y2;

这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.

上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。

乘法逆元：

若gcd(r,m)=1，则存在整数s，使得rs≡1(mod m) 。整数s也称为r模整数m下的乘法逆元。那么当gcd(a,b)=1，有ax+by = gcd(a, b)=1，那么通过计算得出(b+x%b)%b的值就是a在b模下的乘法逆元。

递推代码实现：

int gcd(int a,int b)
{
    //如果a小于b
    if(a<b)
    {
        int temp=a;
        a=b;
        b=temp;
    }
    if(b==0)return a;
    else return gcd(b,a%b);//递归
}


int ex_Gcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    int x1=0,x2=1,y1=1,y2=0,q,d,r;
    //最大公因子
    d=gcd(a,b);
    if(b==0)
    {
        d=a;
        x=1;
        y=0;
        return d;
    }
    while(b>0)
    {
        q=a/b;
        r=a-q*b;
        x=x2-q*x1;
        y=y2-q*y1;
        a=b;
        b=r;
        x2=x1;
        x1=x;
        y2=y1;
        y1=y;
    }
    d=a;
    x=x2;
    y=y2;
    return d;

}

int main()
{
    int x,y;
    int a,b;
    cin>>a>>b;
    ex_Gcd(a,b,x,y);
    if(gcd(a,b)==1)
    {
        cout<<"存在a的乘法逆元："<<(b+x%b)%b<<endl;
    }else{
        cout<<"不存在a的乘法逆元!"<<endl;
    }
    cout<<"x:"<<x<<endl;
    cout<<"y:"<<y<<endl;
    return 0;
}

递归代码实现：

int gcd(int a,int b)
{
    //如果a小于b
    if(a<b)
    {
        int temp=a;
        a=b;
        b=temp;
    }
    if(b==0)return a;
    else return gcd(b,a%b);//递归
}


int ex_Gcd(int a, int b, int& x, int& y)
{
    int d;

    if(b!=0){
        d = ex_Gcd(b, a % b, y, x);
      //cout<<"a:"<<a<<endl;
      //cout<<"b:"<<b<<endl;
      //cout<<"x:"<<x<<endl;
      // cout<<"y:"<<y<<endl<<endl<<endl;
        y = y-(a / b) * x;

    }else {
        x = 1;
        y = 0;
    }
    return d;
}

int main()
{
    int x,y;
    int a,b;
    cin>>a>>b;
    ex_Gcd(a,b,x,y);
    if(gcd(a,b)==1)
    {
        cout<<"存在a的乘法逆元："<<(b+x%b)%b<<endl;
    }else{
        cout<<"不存在a的乘法逆元!"<<endl;
    }
    cout<<"x:"<<x<<endl;
    cout<<"y:"<<y<<endl;
    return 0;
}