动态规划——最小化所有子序列中最大值的和

问题描述

给定一长度为$N$的整数序列$(a_1,a_2,...,a_N)$，将其划分成多个子序列（此问题中子序列是连续的一段整数），满足每个子序列中整数的和不大于一个数$B$，设计一种划分方法，最小化所有子序列中最大值的和。说明其具有最优子结构及子问题重叠性质。

例如：序列长度为8的整数序列$(2,2,2,8,1,8,2,1)$，$B=17$，可将其划分成三个子序列$(2,2,2)$，$(8,1,8)$以及$(2,1)$，则可满足每个子序列中整数和不大于17，所有子序列中最大值的和12为最终结果。

算法思路

这个题目看起来非常的绕口，非常的复杂，要求找到最小的子序列中最大值的和，并且还要求子序列中的整数和不大于$B$。因为知道要使用动态规划的思想来解决，而动态规划一般都会使用一个数组来存储过程中的结果，当算法执行完毕的时候，该数组的最后一个元素就会是我们想要的答案。所以我们可以先不用管具体步骤是什么，使用数组$nums$来表示给定的长度为$N$的整数序列，下标从1开始，设置一个数组$sum[i]$来表示从第1个数到第$i$个数的最小子序列中最大值的和，很显然$sum[0]=0$，那么我们最后的结果就是要求$sum[N]$，接下来仍然是使用题目所给的最基础的例子开始一步一步找规律。

• $N=1$，原始序列中只有一个元素，则$sum[N]=nums[N]=2$。
• $N=2$，这时候有两种情况$(2,2)$、$(2),(2)$，这时候$sum[N]=min(2,2+2)=2$。
• $N=3$，这时候有四种情况$(2,2,2)$、$(2),(2,2)$、$(2,2),(2)$、$(2),(2),(2)$，这时候$sum[N]=min(2,2+2,2+2,2+2+2)=2$。

从上面的例子中可以看出来，这道题其实和前面的第一题有一点像，都是类似于有一个游标$p$在整个序列中进行游走，$p$所指的位置一刀两断，将这个序列划分成前后两个子序列，就像第二种情况，一开始游标$p$为0，则游标的右边其实是数组整体，则他的最大值就是数组元素的最大值，当$p$走到位置1的时候，数组分为两部分，游标前面那部分的最大值可以通过$sum[1]$计算出来，而后面则为剩余元素的最大值，很显然这里只有一个元素为2，然后取这两种最大值中最小的那一个。情况3也是类似的，$p$从0开始，一直走到2，这里用形式化的语言来描述就是$$sum[3]=min(sum[0]+max(nums[1],nums[2],nums[3]),sum[1]+max(nums[2],nums[3]),sum[2]+max(num[3]))$$
由于游标一直游走在$[0,i-1]$内，所以当我们求$sum[i]$的时候，所有的式子都是已知的，在这个的基础上，我们需要保证每个子序列中的整数和不大于17，即$$max(nums[p+1],...,nums[i])\le B$$
所以最终我们可以得出这样的转移表达式：
$$sum[i]=min(sum[p]+max(nums[p+1],...,nums[i])),0\le p<i,\sum _{k=p+1}^{i}nums[k]\le B$$

子问题性质说明

一般来讲一个题目能够使用动态规划算法，那么他应该具备两个条件：

• 最优子结构：当一个问题的最优解包含了子问题的最优解时，称这个问题具有最优子结构。
• 重叠子问题：在问题的求解过程中，很多子问题的解将被多次使用。

有了上面分析的递推式，其实就能比较容易地发现该问题具备这两个性质。一般来讲使用反证法来证明其具有最优子结构，下面进行简要证明：

由于$sum[i]$是通过$sum[p]$转移得到的，若$sum[i]$是最优值，则$sum[p]$也肯定是最优值。可以通过反证法证明：
若存在
$$su{m}^{\prime }[p]<sum[p]$$那么必定存在
$$su{m}^{\prime }[i]=min(sum\prime [p]+max(nums[p+1],...,num[i]))<sum[i]$$则$sum[i]$不为最优值，与假设矛盾。因此该问题具有最优子结构性质。

重叠子问题的情况也非常容易说明，$p$为游标，游走在$[0,i)$之间，子问题构成树的形状，树的每一层的每一个子问题，p都会在$[1,i)$之间游走一次，所以必定会存在若干个$sum[p]$是重复的子问题，比如说$sum[3]$和$sum[2]$都包含$sum[1]$这个子问题。

算法实现

int split_subseq(b, n, nums[]) {
    
    
    sum(n + 1, INT_MAX);  // 存放从第1个数到第n个数的序列中的最小子序列中最大值的和
    sum[0] = 0;
    sum[1] = nums[1];  // 前两个值赋值

    for i from 2 to n:  // 自底向上求
        for p from 0 to i - 1:                    // 游标来回动
            int max_val = INT_MIN, add_sum = 0;
            for k from p + 1 to i:                // 找出来后面这个子序列的最大值
                add_sum += nums[k];  // 计算累加和
                max_val = max(max_val, nums[k]);  // 找出最大值
            end for;
            if add_sum < b:
		        // 状态转移方程
		        sum[i] = min(sum[i], sum[p] + max_val);
        end for;
    end for;
    return sum[n];
}