【Applied Algebra】用于AT89C51单片机的代数控制方法

【Applied Algebra】用于AT89C51单片机的代数控制方法(Talk for W.J.Leuang)

在本次讨论中我们将介绍一种基于计算交换代数的、可用于嵌入式设备的高效控制算法.

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问题背景

考虑一个自动控制系统,单片机是一个接收系统状态反馈然后给出控制信号的中枢决策模块;其架构可以可视化如下:

那么问题是,如何使得单片机在接收了尽可能少的反馈-控制序列对样本集合 { u ( t ) , v ( t ) } \{u(t),v(t)\} { u(t),v(t)}之后,能够持续性地根据后续输入反馈$v(t)$给出正确的控制信号$u(t)$;

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用${\mathbb{F}}_2$的多项式环模拟谓词逻辑

我们使用谓词逻辑来对系统进行描述性建模.比如可以用谓词逻辑模糊地描述控制规则温度很高(传动机)$\wedge$流量过大(一回路管道)$\to$打开(2号止回阀),这样的经验式规则可以建立在精确数据信号之上,使得系统的鲁棒性更佳(模糊逻辑控制里使用隶属度函数来建模,非线性程度不够,现在我们尝试使用多项式环来模拟);

考虑这样一个同态映射

$$\rho :\mathcal{L}\to {\mathbb{F}}_2[x_1...x_n]$$

接下来我们可以验证对$\forall p_i,p_j\in \mathcal{L}$,有

$$\rho (p_i\diamond p_j)=\rho (p_i)\oslash \rho (p_j)=f_i\oslash f_j$$

其中$\diamond$为逻辑运算连接符号,$\oslash$为环上的对应运算;

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求解思路

定理.1(Ideal Elimination Therom)理想$I$在$k[x_1...x_n]$的消去理想$I_l$对应的Groebner基可以由以下得到:

$$G_l=G\cap k[x_{l+1}...x_n]$$

令反馈信号对应的谓词逻辑的表示理想为:$I_p=<f_1...f_m>\subset {\mathbb{F}}_2[x_1...x_n]$;
令关联信息对应的谓词逻辑的表示理想为:$I_r=<r_1...r_d>\subset {\mathbb{F}}_2[z_1...z_h]$;
令反馈信号对应的谓词逻辑的表示理想为:$I_q=<g_1...g_k>\subset {\mathbb{F}}_2[z_1...z_h,x_1...x_n]$;

那么依据上面的定理,求解过程即寻找满足$G_p=G_q\cap {\mathbb{F}}_2[x_1...x_n]$的代数簇;

总结

对当前的工作有以下评价和反思:

• 目前看起来是可行的;
• 如何限制多项式计算过程中的次数上升问题;
• 符号计算如何在嵌入式设备里高效实现以优于当前的控制方案;