青蛙过河 [递推法]

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题目描述

有一条河，左边一个石墩($A$区)上有编号为$1，2，3，4，\dots ，n$的$n$只青蛙，河中有$k$个荷叶($C$区)，还有$h$个石墩($D$区)，右边有一个石墩($B$区)，如下图所示。$n$只青蛙要过河(从左岸石墩$A$到右岸石墩$B$)，规则为：

• 石墩上可以承受任意多只青蛙，荷叶只能承受一只青蛙（不论大小）；
• 青蛙可以：$A$→$B$（可以从$A$跳到$B$，下同），$A$→$C$，$A$→$D$，$C$→$B$，$D$→$B$，$D$→$C$，$C$→$D$；
• 当一个石墩上有多只青蛙时，则上面的青蛙只能跳到比它大1号的青蛙上面。

你的任务是对于给出的$h$，$k$，计算并输出最多能有多少只青蛙可以根据以上规则顺利过河?

输入输出样例

输入样例

$2$ $3$

河中间有$2$个石礅，$3$个荷叶

输出样例

$16$

最多有$16$只青蛙可以按照规则过河

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递推解答

关键在这里
从具体到一般，推导过程如下：
$f(0,0)=1$
$f(0,k)=k+1;$ 　　　　　 （如$k=3$时，有$4$只青蛙可以过河）
$f(1,k)=2(k+1);$ 　　　　　 （递推思想）
$f(2,k)=2(k+1)\times 2=2^2\times (k+1);$
……
依此类推得递推式：$F(i,k)=F(i-1,k)\times 2=2^i\times (k+1);$
……
因此，结论为：$f(h,k)=2^h\times (k+1)$

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A C 代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long h,k,ans=1;
int main()
{
    
    
	cin >>h >>k;
	while (h--)
		ans*=2;
	ans*=(k+1);
	cout <<ans;
	return 0;
}