Minimum Spanning Trees

最小生成树

Introduction

图的生成树是它的一棵含有其所有顶点的无环连通子图。一幅加权无向图的最小生成树（MST）是它的一棵权值（树中所有边的权值之和）最小的生成树。

Greedy Algorithm

假定图是连通的，且各个边有不同的权值，这样图就会存在唯一一棵最小生成树。

Cut Property

切分将图的所有点分为两个非空且不重复的集合，横切边（crossing edge）指连接两个集合的边。

切分定理：在一幅加权图中，给定任意的切分，它的横切边中权重最小者必然属于图的最小生成树。

证明

用反证法，假设图的最小生成树 T 不包含权重最小的横切边 e 。现将 e 加入 T ，则会产生一个包含 e 的环，而这个环必然至少含有另一条横切边 f 。又有 e < f ，此时我们删掉 f ，则可以得到一棵更小的生成树。矛盾。

切分定理是解决最小生成树问题的所有算法的基础，这些算法都是一种贪心算法，每次选择一条权重最小的横切边，不断重复直到找到最小生成树的所有边，不同之处在于如何切分和判定权重。

Edge-Weighted Graph API

惯例先给出 API 再说具体要怎么实现。现在是加权图，需要给边新的表示。

Weighted Edge API

获取边 e 的两个端点：int v = e.either(), w = e.other(v)，看下面的实现就能理解。

Weighted Edge: Java Implementation

public class Edge implements Comparable<Edge> {
    private final int v, w;
    private final double weight;

    private Edge(int v, int w, double weight) {
        this.v = v;
        this.w = w;
        this.weight = weight;
    }

    public int either() {
        return v;
    }

    public int other(int vertex) {
        if (vertex == v) {
            return w;
        } else {
            return v;
        }
    }

    public int compareTo(Edge that) {
        if (this.weight < that.weight) {
            return -1;
        }
        else if (this.weight > that.weight) {
            return +1;
        } else {
            return 0;
        }
    }
}

Edge-weighted Graph API

仍然使用邻接表来表示加权图，边的两个端点都有存指向边的引用，实际上表示边的对象只有一个。

Adjacency-lists Implementation

public class EdgeWeightedGraph {
    private final int V;
    private final Bag<Edge>[] adj;

    public EdgeWeightedGraph(int V) {
        this.V = V;
        adj = (Bag<Edge>[]) new Bag[V];
        for (int v = 0; v < V; v++) {
            adj[v] = new Bag<Edge>();
        }

        public void addEdge(Edge e) {
            int v = e.either();
            int w = e.other(v);
            adj[v].add(e);
            adj[w].add(e);
        }

        public Iterable<Edge> adj(int v) {
            return adj[v];
        }
    }
}

MST-API

Sample Client

public static void main(String[] args) {
    In in = new In(Args[0]);
    EdgeWeightedGraph G = new EdgeWeightedGraph(in);
    MST mst = new MST(G);
    for (Edge e : mst.edges()) {
        StdOut.println(e);
    }
    Stdout.println("%.2f\n", mst.weight());
}

运行示例

注：上面贴的大都不完整，完整的可以在 booksite-4.3 找到，图片也是。

Kruskal's Algorithm

Kruskal 算法很好说明，它先把所有的边按权重升序排列，然后从小到大把边加入最小生成树中，要求边不会和已经加入的边形成环（下图灰掉的就是会形成环的边）。

Kruskal 算法是上面提到的贪心算法的特例，MST 的点和图里其它的点构成一个切分，权重最小的横切边通过预排序和环检测得到，所以它可以计算任意加权无向图的 MST。

Kruskal: Implementation

用优先队列获取权重最小的边，用并查集来检测环，边的两点不在同一连通分量方可加入。

加权并查集加上路径压缩，检测环的均摊成本几乎是常数时间，时间复杂度来自优先队列的 \(ElogE\)。

public class KruskalMST {
    private Queue<Edge> mst = new Queue<Edge>();

    public KruskalMST(EdgeWeightedGraph G) {
        MinPQ<Edge> pq = new MinPQ<Edge>();
        for (Edge e : G.edges()) {
            pq.insert(e);
        }

        UF uf = new UF(G.V());
        while (!pq.isEmpty() && mst.size < G.V() - 1) {
            Edge e = pq.delMin();
            int v = e.eighter(), w = e.other(v);
            if (!uf.vonnected(v, w)) {
                uf.union(v, w);
                mst.enqueue(e);
            }
        }
    }

    public Iterable<Edge> edges {
        return mst;
    }
}

Prim's Algorithm

Prim 算法也是贪心算法的特例，可以计算任意带权无向图的 MST。上一个算法贪心地每次尝试添加权重最小的边，把小树接起来最终接成 MST。Prim 算法从某一点开始，贪心地每次选择和树相连的权重最小的边来拓展，最终拓展成 MST。

Prim 算法具体的实现有两种。

Lazy Implementation

“懒”实现不会删除优先队列里没用的边，以树的点为端点的边在拓展时都会被添加，所以拓展到后面就会出现两个端点都是树的点的无效边，“懒”实现的策略就是取出来发现无效就丢掉继续取下一个。

public class LazyPrimMST {
    private boolean[] marked;    // MST vertices
    private Queue<Edge> mst;     // MST edges
    private MinPQ<Edge> pq;      // PQ of edges

    public LazyPrimMST(WeightedGraph G) {
        pq = new MinPQ<Edge>();
        mst = new Queue<Edge>();
        marked = new boolean[G.V()];
        visit(G, 0);

        while (!pq.empty() && mst.size() < G.V() - 1) {
            Edge e = pq.delMin();
            int v = e.either(), w = e.other();
            if (marked[v] && marked[w]) continue;    // ignore if both endpoints in T
            mst.enqueue(e);
            if (!marked[v]) visit(G, v);
            if (!marked[w]) visit(G, w);
        }
    }

    // for each edge e = v-w,add to PQ if w not already in T
    private void visit(WeightedGraph G, int v) {
        marked[v] = true;
        for (Edge e : G.adj(v)) {
            if (!marked[e.other(v)]) {
                pq.insert(e);
            }
        }
    }

    public Iterable<Edge> mst() {
        return mst;
    }
}

“懒”实现的瓶颈在优先队列，时间复杂度同样是 \(ElogE\) 级别。

Eage Implementation

“即时”实现在优先队列里只保存必要的边，不存在两个端点都在树内的边，树外的点也只保留一条权重最小的连接树的边。下图灰掉的边，或是会形成环（如 1-2），或是现存端点到树权重更短的边（如 2-7）。

为了实现不存无用边的性质，对于给定的点，我们要能在优先队列中找出其到树目前的最短距离，看是否要更新。为此，需要用索引优先队列。我们把点当做索引，把点到 MST 的最小权重当做键值，来实现更新方法。

索引优先队列顾名思义，二叉堆数组里存放的是索引，孰大孰小由索引对应的键值决定。数组 keys 存放着键值，顺序无所谓；数组 pq 即二叉堆，下标 1 存放着最小键值对应的索引，最小键值即存放在 keys[pq[1]] 里。qp（queue position 吧）数组用于维护二叉堆，qp[i] 表示索引 i 在队列中的位置，即二叉堆数组的下标，元素则是索引，qp[] 则相反：下标对应索引，元素是位置，故有 qp[pq[i]] = i, pq[qp[i]] = i。

decreaseKey

public void decreaseKey(int i, Key key) {
    keys[i] = key;
    swim(qp[i]);     // 键值变小，对应索引在二叉树中“上浮”
}

private void swim（int k) {
    while (k > 1 && greater(k / 2, k)) {
        exch(k, k / 2);
        k = k / 2;   // “上浮”一层
    }
}

private boolean greater(int i, int j) {
    return keys[pq[i]].compareTo(keys[pq[j]]) > 0;
}

private void exch(int i, int j) {
    int swap = pq[i];
    pq[i] = pq[j];
    pq[j] = swap;
    qp[pq[i]] = i;
    qp[pq[j]] = j;
}

摘自 IndexMinPQ.java，还有很多其它方法，这里我们主要需要上述方法来更新权重。

Eager Code

public class PrimMST {
    private Edge[] edgeTo;
    private double[] distT;
    private boolean[] marked;
    private IndexMinPQ<double> pq;

    public PrimMST(EdgeWeightedGraph G) {
        edgeTo = new Edge[G.V()];
        distTo = new double[G.V()];
        marked = new bolean[G.V()];
        for (int v = 0; v < G.V(); v++) {
            distTo[v] = Double.POSITIVE_INFINITY;
        }
        pq = new IndexMinPQ<Double>(G.V());

        distTo[0] = 0.0;
        pq.insert(0, 0.0);
        while (!qp.isEmpty()) {
            visit(G, pq.delMin());
        }
    }

    private void visit(EdgeWeightedGraph G, int v) {
        marked[v] = true;
        for (Edge e : G.adj(v)) {
            int w = e.other(v);
            if (marked[w]) continue;
            if (e.weight() < distTo[w]) {
                edgeTo[w] = e;
                distTo[w] = e.weight();
                if (pq.contains(w)) {
                    pq.decreaseKey(w, distTo[w]);
                }
                esle {
                    pq.insert(w, distTo[w]);
                }
            }
        }
    }
}

完整的参见：PrimMST.java。

“即时”实现的优先队列没有那么多无用的边，拓展到的每个点只有一条当前最优的边，最多只会有 V 条边，故所需空间和 V 成正比，时间复杂度为 \(ElogV\) 级别。

Context

回顾了 MST 问题的发展，不提。目前还没找到线性的算法，也没有理论能证明线性算法不存在。但总的来说，可以认为在实际应用中 MST 问题已经被解决了，大多数图只要花比遍历所有边多一点的成本。