验证SO(3)、SE(3) 和Sim(3) 关于乘法成群
证明：
先看SO(3). 定义为：

$S O (3) = {R \in R^{3 \times 3} | R R^{⊤} = I, det (R) = 1}$
- 假设 $\mathbf{R}_1, \mathbf{R}_2\in SO(3)$ , 先证明 $\mathbf{R}_1*\mathbf{R}_2\in SO(3)$ :
  
  $R_{1} * R_{2} * (R_{1} * R_{2})^{⊤} = R_{1} * R_{2} R_{2}^{⊤} * R_{1}^{⊤} = I$ $\mathbf{R}_1*\mathbf{R}_2*(\mathbf{R}_1*\mathbf{R}_2)^\top = \mathbf{R}_1*\mathbf{R}_2\mathbf{R}_2^\top*\mathbf{R}_1^\top = \mathbf{I}$
  再证其行列式为1:
  $det (R_{1} * R_{2}) = det (R_{1}) \cdot det (R_{2}) = 1$ $\det(\mathbf{R}_1*\mathbf{R}_2) = \det(\mathbf{R}_1) \cdot \det(\mathbf{R}_2) = 1$
  所以 $\mathbf{R}_1, \mathbf{R}_2\in SO(3) \Rightarrow \mathbf{R}_1*\mathbf{R}_2\in SO(3)$ .
- 根据矩阵乘法，显然：
  
  $(R_{1} * R_{2}) * R_{3} = R_{1} * (R_{2} * R_{3})$ $(\mathbf{R}_1 * \mathbf{R}_2) * \mathbf{R}_3 = \mathbf{R}_1 * (\mathbf{R}_2 * \mathbf{R}_3 )$
- 存在 $\mathbf{I}_0 \in \mathbb{R}^{3\times 3}$ (单位矩阵), 使得:
  
  $I_{0} * R = R * I_{0} = R$ $\mathbf{I}_0 * \mathbf{R} = \mathbf{R} * \mathbf{I}_0 = \mathbf{R}$
  所以玄元为 $\mathbf{I}_0$ .
- 根据定义 $\mathbf{R} \mathbf{R}^\top = \mathbf{I}$ , 所以逆为
  
  $R^{- 1} = R^{⊤} \in S O (3)$ $\mathbf{R}^{-1} = \mathbf{R}^\top \in SO(3)$

SE(3)的定义为：

S E (3) = {T = [\begin{matrix} R & \vec{t} \\ \vec{0} & 1 \end{matrix}] \in R^{4 \times 4} | R \in S O (3), \vec{t} \in R^{3}}

$SE(3) = \{\mathbf{T} = \begin{bmatrix} \mathbf{R} & \vec{t}\\ \vec{0} & 1 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{4\times 4} | \mathbf{R} \in SO(3), \vec{t}\in \mathbb{R}^3 \}$
- 假设

T_{1}, T_{2} \in S E (3)

$\mathbf{T}_1, \mathbf{T}_2\in SE(3)$ , 证明

T_{1} * T_{2} \in S E (3)

$\mathbf{T}_1*\mathbf{T}_2\in SE(3)$ :

\begin{aligned} T_{1} * T_{2} & = [\begin{matrix} R_{1} & {\vec{t}}_{1} \\ \vec{0} & 1 \end{matrix}] * [\begin{matrix} R_{2} & {\vec{t}}_{2} \\ \vec{0} & 1 \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} R_{1} * R_{2} & R_{1} {\vec{t}}_{2} + {\vec{t}}_{1} \\ \vec{0} & 1 \end{matrix}] \end{aligned}

$\begin{aligned} \mathbf{T}_1*\mathbf{T}_2 &= \begin{bmatrix} \mathbf{R}_1 & \vec{t}_1\\ \vec{0} & 1 \end{bmatrix}* \begin{bmatrix} \mathbf{R}_2 & \vec{t}_2\\ \vec{0} & 1 \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} \mathbf{R}_1*\mathbf{R}_2 & \mathbf{R}_1\vec{t}_2+\vec{t}_1\\ \vec{0} & 1 \end{bmatrix} \end{aligned}$
上述式子中，

R_{1}, R_{2} \in S O (3)

$\mathbf{R}_1, \mathbf{R}_2\in SO(3)$ ,

R_{1} * R_{2} \in S O (3)

$\mathbf{R}_1*\mathbf{R}_2\in SO(3)$ 已获得证明；

R_{1} {\vec{t}}_{2} + {\vec{t}}_{1} \in R^{3}

$\mathbf{R}_1\vec{t}_2+\vec{t}_1 \in \mathbb{R}^3$ .
满足SE(3)的定义。

同样根据矩阵乘法原理， $\mathbf{R}_1, \mathbf{R}_2, \mathbf{R}_3\in SO(3)$ ,
$(R_{1} * R_{2}) * R_{3} = R_{1} * (R_{2} * R_{3})$ $(\mathbf{R}_1 * \mathbf{R}_2) * \mathbf{R}_3 = \mathbf{R}_1 * (\mathbf{R}_2 * \mathbf{R}_3)$
SE(3)的玄元为 $\mathbf{I}_0 \in \mathbb{R}^{4\times 4}$
SE(3)在乘法下的逆为：
$$
\mathbf{T}^{-1}=
\begin{bmatrix}
\mathbf{R} & \vec{t}\
\vec{0} & 1

\end{bmatrix}^{-1}

\begin{bmatrix}
\mathbf{R}^\top & -\mathbf{R}^{-1}\vec{t}\
\vec{0} & 1

\end{bmatrix}

[\begin{matrix} R^{⊤} & - R^{⊤} \vec{t} \\ \vec{0} & 1 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} \mathbf{R}^\top & -\mathbf{R}^\top\vec{t}\\ \vec{0} & 1 \end{bmatrix}$
$$
Sim(3)的证明与SE(3)很类似，限于篇幅就不展开了。

验证 $(\mathbb{R}^3, \mathbb{R}, \times)$ 构成李代数
前面文章已证。
**验证 $s o (3)$

《视觉SLAM十四讲》学习笔记-第四讲部分习题的证明思路

\end{bmatrix}^{-1}

\end{bmatrix}

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