线性Attention的探索：Attention必须有个Softmax吗？
By 苏剑林 | 2020-07-04众所周知，尽管基于Attention机制的Transformer类模型有着良好的并行性能，但它的空间和时间复杂度都是O(n2)级别的，n是序列长度，所以当n比较大时Transformer模型的计算量难以承受。近来，也有不少工作致力于降低Transformer模型的计算量，比如模型剪枝、量化、蒸馏等精简技术，又或者修改Attention结构，使得其复杂度能降低到O(nlogn)甚至O(n)。
前几天笔者读到了论文《Transformers are RNNs: Fast Autoregressive Transformers with Linear Attention》，了解到了线性化Attention（Linear Attention）这个探索点，继而阅读了一些相关文献，有一些不错的收获，最后将自己对线性化Attention的理解汇总在此文中。
Attention #
当前最流行的Attention机制当属Scaled-Dot Attention，形式为
这里的Q∈Rn×dk,K∈Rm×dk,V∈Rm×dv
，简单起见我们就没显式地写出Attention的缩放因子了。本文我们主要关心Self Attention场景，所以为了介绍上的方便统一设Q,K,V∈Rn×d
，一般场景下都有n>d甚至n≫d（BERT base里边d=64）。相关解读可以参考笔者的《Attention is All You Need》浅读（简介+代码），以及它的一些改进工作也可以参考《突破瓶颈，打造更强大的Transformer》、《Google新作Synthesizer：我们还不够了解自注意力》，这里就不多深入介绍了。
摘掉Softmax #
读者也许想不到，制约Attention性能的关键因素，其实是定义里边的Softmax！事实上，简单地推导一下就可以得到这个结论。QK⊤��⊤这一步我们得到一个n×n�×�的矩阵，就是这一步决定了Attention的复杂度是O(n2)�(�2)；如果没有Softmax，那么就是三个矩阵连乘QK⊤V��⊤�，而矩阵乘法是满足结合率的，所以我们可以先算K⊤V�⊤�，得到一个d×d�×�的矩阵，然后再用Q�左乘它，由于d≪n�≪�，所以这样算大致的复杂度只是O(n)�(�)（就是Q�左乘那一步占主导）。
也就是说，去掉Softmax的Attention的复杂度可以降到最理想的线性级别O(n)�(�)！这显然就是我们的终极追求：Linear Attention，复杂度为线性级别的Attention。所以，本文的主题就是探究摘掉Softmax后的线形Attention。
一般的定义 #
问题是，直接去掉Softmax还能算是Attention吗？它还能有标准的Attention的效果吗？为了回答这个问题，我们先将Scaled-Dot Attention的定义(1)(1)等价地改写为（本文的向量都是列向量）
所以，Scaled-Dot Attention其实就是以eq⊤ikj���⊤��为权重对vj��做加权平均。所以我们可以提出一个Attention的一般化定义
也就是把eq⊤ikj���⊤��换成qi,kj��,��的一般函数sim(qi,kj)sim(��,��)，为了保留Attention相似的分布特性，我们要求sim(qi,kj)≥0sim(��,��)≥0恒成立。也就是说，我们如果要定义新式的Attention，那么要保留式(3)(3)的形式，并且满足sim(qi,kj)≥0sim(��,��)≥0。
这种一般形式的Attention在CV中也被称为Non-Local网络，出自论文《Non-local Neural Networks》。
几个例子 #
如果直接去掉Softmax，那么就是sim(qi,kj)=q⊤ikjsim(��,��)=��⊤��，问题是内积无法保证非负性，所以这还不是一个合理的选择。下面我们简单介绍几种可取的方案。
值得指出的是，下面介绍的这几种Linear Attention，前两种来自CV领域，第三种是笔者自己构思的，所以都还没有在NLP任务上做过什么实验，各位做模型改进的NLPer们就有实验方向了（^_^）～～顺便说一下，CV领域有不少对Attention的改进工作（除了下面介绍的外，还有EMANet等），很多内容都值得做NLP的我们参考阅读。
核函数形式 #
一个自然的想法是：如果qi,kj��,��的每个元素都是非负的，那么内积自然也就是非负的。为了完成这点，我们可以给qi,kj��,��各自加个激活函数ϕ,φ�,�，即
其中ϕ(⋅),φ(⋅)�(⋅),�(⋅)是值域非负的激活函数。本文开头提到的论文《Transformers are RNNs: Fast Autoregressive Transformers with Linear Attention》选择的是ϕ(x)=φ(x)=elu(x)+1�(�)=�(�)=elu(�)+1。
非要讲故事的话，式(4)(4)可以联想到“核方法（kernal method）”，尤其是ϕ=φ�=�时ϕ�就相当于一个核函数，而〈ϕ(qi),ϕ(kj)〉〈�(��),�(��)〉就是通过核函数所定义的内积。这方面的思考可以参考论文《Transformer dissection: An unified understanding for transformer’s attention via the lens of kernel》，此处不做过多延伸。
妙用Softmax #
另一篇更早的文章《Efficient Attention: Attention with Linear Complexities》则给出了一个更有意思的选择。它留意到在QK⊤��⊤中，Q,K,∈Rn×d�,�,∈��×�，如果“Q�在d�那一维是归一化的、并且K�在n�那一维是归一化的”，那么QK⊤��⊤就是自动满足归一化了，所以它给出的选择是：
其中softmax1�������1、softmax2�������2分别指在第一个（n�）、第二个维度（d�）进行Softmax运算。也就是说，这时候我们是各自给Q,K�,�加Softmax，而不是QK⊤��⊤算完之后才加Softmax。
如果直接取ϕ(qi)=softmax(qi),φ(kj)=softmax(kj)�(��)=�������(��),�(��)=�������(��)，那么很显然这个形式也是式(4)(4)的一个特例。另外这个设计在CV中出现过不止一次，比如A2-Nets也包含了同样的做法。
自己的构思 #
在这里，笔者给出自己的一种构思。这个构思的出发点不再是式(4)(4)，而是源于我们对原始定义(2)(2)的近似。由泰勒展开我们有
如果q⊤ikj≥−1��⊤��≥−1，那么就可以保证右端的非负性，而从可以让sim(qi,kj)=1+q⊤ikjsim(��,��)=1+��⊤��。到这里读者可能已经想到了，想要保证q⊤ikj≥−1��⊤��≥−1，只需要分别对qi,kj��,��做l2�2归一化。所以，笔者最终提出的方案就是：
这不同于形式(4)(4)，但理论上它更加接近原始的Scaled-Dot Attention。
相关工作 #
通过修改Attention的形式来降低它的计算复杂度，相关的工作有很多，这里简要列举一些。
稀疏Attention #
我们之前介绍过OpenAI的Sparse Attention，通过“只保留小区域内的数值、强制让大部分注意力为零”的方式，来减少Attention的计算量。经过特殊设计之后，Attention矩阵的大部分元素都是0，因此理论上它也能节省显存占用量和计算量。后续类似工作还有《Explicit Sparse Transformer: Concentrated Attention Through Explicit Selection》、《Longformer: The Long-Document Transformer》等。
但是很明显，这种思路有两个不足之处：
1、如何选择要保留的注意力区域，这是人工主观决定的，带有很大的不智能性；
2、它需要从编程上进行特定的设计优化，才能得到一个高效的实现，所以它不容易推广。
Reformer #
Reformer也是有代表性的改进工作，它将Attention的复杂度降到了O(nlogn)�(�log�)。某种意义上来说，Reformer也是稀疏Attention的一种，只不过它的稀疏Pattern不是事先指定的，而是通过LSH（Locality Sensitive Hashing）技术（近似地）快速地找到最大的若干个Attention值，然后只去计算那若干个值。此外，Reformer通过构造可逆形式的FFN（Feedforward Network）替换掉原来的FFN，然后重新设计反向传播过程，从而降低了显存占用量。
所以，相比前述稀疏Attention，Reformer解决了它的第一个缺点，但是依然有第二个缺点：实现起来复杂度高。要实现LSH形式的Attention比标准的Attention复杂多了，对可逆网络重写反向传播过程对普通读者来说更是遥不可及～
Linformer #
跟本文所介绍的Linear Attention很相似的一个工作是Facebook最近放出来的Linformer，它依然保留原始的Scaled-Dot Attention形式，但在进行Attention之前，用两个m×n�×�的矩阵E,F�,�分别对K,V�,�进行投影，即变为
这样一来，Q(EK)⊤�(��)⊤就只是一个n×m�×�的矩阵，而作者声称对于哪怕对于很大的序列长度n�，m�也可以保持为一个适中的常数，从而这种Attention也是线性的。跟Linformer类似的思路还出现在更早一些的CV论文《Asymmetric Non-local Neural Networks for Semantic Segmentation》中。
但是，笔者认为“对于超长序列m�可以保持不变”这个结论是值得质疑的，对于长序列原论文只做了MLM任务，而很明显MLM并不那么需要长程依赖，所以这个实验没什么说服力。因此，Linformer是不是真的Linear，还有待商榷。
自回归生成 #
Linformer的另一个缺点是EK,FV��,��这两个运算直接把整个序列的信息给“糅合”起来了，所以它没法简单地把将来信息给Mask掉（Causal Masking），从而无法做语言模型、Seq2Seq等自回归生成任务，这也是刚才说的原作者只做了MLM任务的原因。相比之下，本文介绍的几种Linear Attention都能做到这一点。以式(3)(3)和式(4)(4)为例，如果要Mask掉未来信息，那么只需要把求和∑j=1n∑�=1�改为∑j=1i∑�=1�：
实现上式有两种方式：第一方式是设Si=∑j=1iφ(kj)v⊤j��=∑�=1��(��)��⊤以及zi=∑j=1iφ(kj)��=∑�=1��(��)，我们有
线性Attention的探索：Attention必须有个Softmax吗？
By 苏剑林 | 2020-07-04 | 109311位读者 |众所周知，尽管基于Attention机制的Transformer类模型有着良好的并行性能，但它的空间和时间复杂度都是O(n2)�(�2)级别的，n�是序列长度，所以当n�比较大时Transformer模型的计算量难以承受。近来，也有不少工作致力于降低Transformer模型的计算量，比如模型剪枝、量化、蒸馏等精简技术，又或者修改Attention结构，使得其复杂度能降低到O(nlogn)�(�log�)甚至O(n)�(�)。
前几天笔者读到了论文《Transformers are RNNs: Fast Autoregressive Transformers with Linear Attention》，了解到了线性化Attention（Linear Attention）这个探索点，继而阅读了一些相关文献，有一些不错的收获，最后将自己对线性化Attention的理解汇总在此文中。
Attention #
当前最流行的Attention机制当属Scaled-Dot Attention，形式为
这里的Q∈Rn×dk,K∈Rm×dk,V∈Rm×dv�∈��×��,�∈��×��,�∈��×��，简单起见我们就没显式地写出Attention的缩放因子了。本文我们主要关心Self Attention场景，所以为了介绍上的方便统一设Q,K,V∈Rn×d�,�,�∈��×�，一般场景下都有n>d�>�甚至n≫d�≫�（BERT base里边d=64�=64）。相关解读可以参考笔者的《Attention is All You Need》浅读（简介+代码），以及它的一些改进工作也可以参考《突破瓶颈，打造更强大的Transformer》、《Google新作Synthesizer：我们还不够了解自注意力》，这里就不多深入介绍了。
摘掉Softmax #
读者也许想不到，制约Attention性能的关键因素，其实是定义里边的Softmax！事实上，简单地推导一下就可以得到这个结论。QK⊤��⊤这一步我们得到一个n×n�×�的矩阵，就是这一步决定了Attention的复杂度是O(n2)�(�2)；如果没有Softmax，那么就是三个矩阵连乘QK⊤V��⊤�，而矩阵乘法是满足结合率的，所以我们可以先算K⊤V�⊤�，得到一个d×d�×�的矩阵，然后再用Q�左乘它，由于d≪n�≪�，所以这样算大致的复杂度只是O(n)�(�)（就是Q�左乘那一步占主导）。
也就是说，去掉Softmax的Attention的复杂度可以降到最理想的线性级别O(n)�(�)！这显然就是我们的终极追求：Linear Attention，复杂度为线性级别的Attention。所以，本文的主题就是探究摘掉Softmax后的线形Attention。
一般的定义 #
问题是，直接去掉Softmax还能算是Attention吗？它还能有标准的Attention的效果吗？为了回答这个问题，我们先将Scaled-Dot Attention的定义(1)(1)等价地改写为（本文的向量都是列向量）
所以，Scaled-Dot Attention其实就是以eq⊤ikj���⊤��为权重对vj��做加权平均。所以我们可以提出一个Attention的一般化定义
也就是把eq⊤ikj���⊤��换成qi,kj��,��的一般函数sim(qi,kj)sim(��,��)，为了保留Attention相似的分布特性，我们要求sim(qi,kj)≥0sim(��,��)≥0恒成立。也就是说，我们如果要定义新式的Attention，那么要保留式(3)(3)的形式，并且满足sim(qi,kj)≥0sim(��,��)≥0。
这种一般形式的Attention在CV中也被称为Non-Local网络，出自论文《Non-local Neural Networks》。
几个例子 #
如果直接去掉Softmax，那么就是sim(qi,kj)=q⊤ikjsim(��,��)=��⊤��，问题是内积无法保证非负性，所以这还不是一个合理的选择。下面我们简单介绍几种可取的方案。
值得指出的是，下面介绍的这几种Linear Attention，前两种来自CV领域，第三种是笔者自己构思的，所以都还没有在NLP任务上做过什么实验，各位做模型改进的NLPer们就有实验方向了（^_^）～～顺便说一下，CV领域有不少对Attention的改进工作（除了下面介绍的外，还有EMANet等），很多内容都值得做NLP的我们参考阅读。
核函数形式 #
一个自然的想法是：如果qi,kj��,��的每个元素都是非负的，那么内积自然也就是非负的。为了完成这点，我们可以给qi,kj��,��各自加个激活函数ϕ,φ�,�，即
其中ϕ(⋅),φ(⋅)�(⋅),�(⋅)是值域非负的激活函数。本文开头提到的论文《Transformers are RNNs: Fast Autoregressive Transformers with Linear Attention》选择的是ϕ(x)=φ(x)=elu(x)+1�(�)=�(�)=elu(�)+1。
非要讲故事的话，式(4)(4)可以联想到“核方法（kernal method）”，尤其是ϕ=φ�=�时ϕ�就相当于一个核函数，而〈ϕ(qi),ϕ(kj)〉〈�(��),�(��)〉就是通过核函数所定义的内积。这方面的思考可以参考论文《Transformer dissection: An unified understanding for transformer’s attention via the lens of kernel》，此处不做过多延伸。
妙用Softmax #
另一篇更早的文章《Efficient Attention: Attention with Linear Complexities》则给出了一个更有意思的选择。它留意到在QK⊤��⊤中，Q,K,∈Rn×d�,�,∈��×�，如果“Q�在d�那一维是归一化的、并且K�在n�那一维是归一化的”，那么QK⊤��⊤就是自动满足归一化了，所以它给出的选择是：
其中softmax1�������1、softmax2�������2分别指在第一个（n�）、第二个维度（d�）进行Softmax运算。也就是说，这时候我们是各自给Q,K�,�加Softmax，而不是QK⊤��⊤算完之后才加Softmax。
如果直接取ϕ(qi)=softmax(qi),φ(kj)=softmax(kj)�(��)=�������(��),�(��)=�������(��)，那么很显然这个形式也是式(4)(4)的一个特例。另外这个设计在CV中出现过不止一次，比如A2-Nets也包含了同样的做法。
自己的构思 #
在这里，笔者给出自己的一种构思。这个构思的出发点不再是式(4)(4)，而是源于我们对原始定义(2)(2)的近似。由泰勒展开我们有
如果q⊤ikj≥−1��⊤��≥−1，那么就可以保证右端的非负性，而从可以让sim(qi,kj)=1+q⊤ikjsim(��,��)=1+��⊤��。到这里读者可能已经想到了，想要保证q⊤ikj≥−1��⊤��≥−1，只需要分别对qi,kj��,��做l2�2归一化。所以，笔者最终提出的方案就是：
这不同于形式(4)(4)，但理论上它更加接近原始的Scaled-Dot Attention。
相关工作 #
通过修改Attention的形式来降低它的计算复杂度，相关的工作有很多，这里简要列举一些。
稀疏Attention #
我们之前介绍过OpenAI的Sparse Attention，通过“只保留小区域内的数值、强制让大部分注意力为零”的方式，来减少Attention的计算量。经过特殊设计之后，Attention矩阵的大部分元素都是0，因此理论上它也能节省显存占用量和计算量。后续类似工作还有《Explicit Sparse Transformer: Concentrated Attention Through Explicit Selection》、《Longformer: The Long-Document Transformer》等。
但是很明显，这种思路有两个不足之处：
1、如何选择要保留的注意力区域，这是人工主观决定的，带有很大的不智能性；
2、它需要从编程上进行特定的设计优化，才能得到一个高效的实现，所以它不容易推广。
Reformer #
Reformer也是有代表性的改进工作，它将Attention的复杂度降到了O(nlogn)�(�log�)。某种意义上来说，Reformer也是稀疏Attention的一种，只不过它的稀疏Pattern不是事先指定的，而是通过LSH（Locality Sensitive Hashing）技术（近似地）快速地找到最大的若干个Attention值，然后只去计算那若干个值。此外，Reformer通过构造可逆形式的FFN（Feedforward Network）替换掉原来的FFN，然后重新设计反向传播过程，从而降低了显存占用量。
所以，相比前述稀疏Attention，Reformer解决了它的第一个缺点，但是依然有第二个缺点：实现起来复杂度高。要实现LSH形式的Attention比标准的Attention复杂多了，对可逆网络重写反向传播过程对普通读者来说更是遥不可及～
Linformer #
跟本文所介绍的Linear Attention很相似的一个工作是Facebook最近放出来的Linformer，它依然保留原始的Scaled-Dot Attention形式，但在进行Attention之前，用两个m×n�×�的矩阵E,F�,�分别对K,V�,�进行投影，即变为
这样一来，Q(EK)⊤�(��)⊤就只是一个n×m�×�的矩阵，而作者声称对于哪怕对于很大的序列长度n�，m�也可以保持为一个适中的常数，从而这种Attention也是线性的。跟Linformer类似的思路还出现在更早一些的CV论文《Asymmetric Non-local Neural Networks for Semantic Segmentation》中。
但是，笔者认为“对于超长序列m�可以保持不变”这个结论是值得质疑的，对于长序列原论文只做了MLM任务，而很明显MLM并不那么需要长程依赖，所以这个实验没什么说服力。因此，Linformer是不是真的Linear，还有待商榷。
自回归生成 #
Linformer的另一个缺点是EK,FV��,��这两个运算直接把整个序列的信息给“糅合”起来了，所以它没法简单地把将来信息给Mask掉（Causal Masking），从而无法做语言模型、Seq2Seq等自回归生成任务，这也是刚才说的原作者只做了MLM任务的原因。相比之下，本文介绍的几种Linear Attention都能做到这一点。以式(3)(3)和式(4)(4)为例，如果要Mask掉未来信息，那么只需要把求和∑j=1n∑�=1�改为∑j=1i∑�=1�：
实现上式有两种方式：第一方式是设Si=∑j=1iφ(kj)v⊤j��=∑�=1��(��)��⊤以及zi=∑j=1iφ(kj)��=∑�=1��(��)，我们有
这说明这种Attention可以作为一个RNN模型用递归的方式实现，它的空间复杂度最低，但是要串性计算，适合预测解码时使用；第二种是直接将φ(K),V∈Rn×d�(�),�∈��×�做外积，得到一个n×d×d�×�×�的矩阵，然后对n�那一维执行cumsumcumsum运算，这样就一次性得到S1,S2,…,Sn�1,�2,…,��了，它的速度最快，但空间占用最大，适合训练时使用，不过很多时候都有d2≫n�2≫�，一般情况下训练时都很难承受这个空间复杂度，因此多数还是用RNN形式。
下采样技术 #
从结果上来看，Linformer的EK,FV��,��就是将序列变短（下采样）了，而将序列变短的一个最朴素的方法就是Pooling了，所以笔者之前也尝试过把Pooling技术引入到Transformer中去。近来也有类似的工作发出来，比如IBM的《PoWER-BERT: Accelerating BERT Inference via Progressive Word-vector Elimination》和Google的《Funnel-Transformer: Filtering out Sequential Redundancy for Efficient Language Processing》。除了Pooling之外，其实还有其他的下采样技术，比如可以通过stride > 1的一维卷积来实现，基于这个思路，或许我们可以把FFN里边的Position-Wise全连接换成stride > 1的一维卷积？总之这方面应该也能玩出很多花样来，不过跟Linformer一样，这样糅合之后做自回归生成就很难了。
文章小结 #
本文介绍了一些从结构上对Attention进行修改从而降低其计算复杂度的工作，其中最主要的idea是去掉标准Attention中的Softmax，就可以使得Attention的复杂度退化为理想的O(n)�(�)级别（Linear Attention）。相比于其他类似的改进结构的工作，这种修改能在把复杂度降到O(n)�(�)的同时，依然保留所有的“token-token“的注意力，同时还能保留用于做自回归生成的可能性。
下采样技术 #
从结果上来看，Linformer的EK,FV��,��就是将序列变短（下采样）了，而将序列变短的一个最朴素的方法就是Pooling了，所以笔者之前也尝试过把Pooling技术引入到Transformer中去。近来也有类似的工作发出来，比如IBM的《PoWER-BERT: Accelerating BERT Inference via Progressive Word-vector Elimination》和Google的《Funnel-Transformer: Filtering out Sequential Redundancy for Efficient Language Processing》。除了Pooling之外，其实还有其他的下采样技术，比如可以通过stride > 1的一维卷积来实现，基于这个思路，或许我们可以把FFN里边的Position-Wise全连接换成stride > 1的一维卷积？总之这方面应该也能玩出很多花样来，不过跟Linformer一样，这样糅合之后做自回归生成就很难了。
文章小结 #
本文介绍了一些从结构上对Attention进行修改从而降低其计算复杂度的工作，其中最主要的idea是去掉标准Attention中的Softmax，就可以使得Attention的复杂度退化为理想的O(n)�(�)级别（Linear Attention）。相比于其他类似的改进结构的工作，这种修改能在把复杂度降到O(n)�(�)的同时，依然保留所有的“token-token“的注意力，同时还能保留用于做自回归生成的可能性。