前言
树状数组或二叉索引树（Binary Indexed Tree），又以其发明者命名为 Fenwick 树。其初衷是解决数据压缩里的累积频率的计算问题，现多用于高效计算数列的前缀和、区间和。它可以以 O(logn) 的时间得到任意前缀和。并同时支持在 O(logn) 时间内支持动态单点值的修改。空间复杂度 O(n)。
一、树状数组概括
树状数组是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构。主要用于数组的单点修改&&区间求和，另外一个拥有类似功能的是线段树。
具体区别和联系如下：
1.两者在复杂度上同级, 但是树状数组的常数明显优于线段树, 其编程复杂度也远小于线段树.
2.树状数组的作用被线段树完全涵盖, 凡是可以使用树状数组解决的问题, 使用线段树一定可以解决, 但是线段树能够解决的问题树状数组未必能够解决.
3. 树状数组的突出特点是其编程的极端简洁性, 使用lowbit技术可以在很短的几步操作中完成树状数组的核心操作，其代码效率远高于线段树。
二、树状数组的应用
1.单点修改+区间查询
代码示例
int lowbit(int x)
{
return x & (-x);//表示求数组下标二进制的非0最低位所表示的值
}
//查找1~x的和
int find_sum(int x)
{
int ans = 0;
while(x)
{
ans += c[x];//从右往左累加求和
x -= lowbit(x);
}
return x;
}
//单点修改
void gexi(int x,int v)
{
a[x] += v;
while(x <= n)
{
c[x] += v;
x += lowbit(x);//由叶子节点向上更新树状数组C，从左往右更新
}
}实现原理
模板中最常见的三个函数：
①取数组下标二进制非0最低位所表示的值；
②单点更新；
③区间查询。
树状数组，顾名思义是树状的数组，我们首先引入二叉树，叶子节点代表A[1]~A[8]。
现在变形一下：
现在定义每一列的顶端节点C数组（其实C数组就是树状数组），如图：
理解树状数组的重点
C[i]代表子树的叶子节点的权值之和，如图可以知道：
C[1]=A[1];
C[2]=A[1]+A[2];
C[3]=A[3];
C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];
C[5]=A[5];
C[6]=A[5]+A[6];
C[7]=A[7];
C[8]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8];
首先是区间查询（求和）：
利用C[i]数组，求A数组中前i项和，举两个栗子：
①i=7
前7项和：sum[7]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]；
而C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]；C[6]=A[5]+A[6]；C[7]=A[7]；
可以得到：sum[7]=C[4]+C[6]+C[7]。
数组下标写成二进制：sum[(111)]=C[(100)]+C[(110)]+C[(111)]；
②i=5
前5项和：sum[5]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]；
而C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]；C[5]=A[5]；
可以得到：sum[5]=C[4]+C[5]；
数组下标写成二进制：sum[(101)]=C[(100)]+C[(101)]；
细细观察二进制，树状数组追其根本就是二进制的应用，结合代码演示一下代码过程：
//查找1~x的和
int find_sum(int x)
{
int ans = 0;
while(x)
{
ans += c[x];
x -= lowbit(x);
}
return x;
}代码推演
对于i=7进行演示：
7(111) ans+=C[7]lowbit(7)=001 7-lowbit(7)=6(110) ans+=C[6]
lowbit(6)=010 6-lowbit(6)=4(100) ans+=C[4]
lowbit(4)=100 4-lowbit(4)=0(000) break；
对于i=5进行演示：
5(101) ans+=C[5]lowbit(5)=001 5-lowbit(5)=4(100) ans+=C[4]
lowbit(4)=100 4-lowbit(4)=0(000) break；
然后单点更新：
当我们修改A数组中某个值时，应当如何更新C数组呢？回想一下，区间查询的过程，再看一下上文中列出的过程。这里声明一下：单点更新实际上是不修改A数组的，而是修改树状数组C，向上更新区间长度为lowbit(i)所代表的节点的值。
//单点修改
void gexi(int x,int v)
{
a[x] += v;
while(x <= n)
{
c[x] += v;
x += lowbit(x);
}
如图：当在A[1]加上值val，即更新A[1]时，需要向上更新C[1],C[2],C[4],C[8]，这个时候只需将这4个节点每个节点的值加上val即可。这里为了方便大家理解，人为添加了个A数组表示每个叶子节点的值，事实上A数组并不用修改，实际运用中也可不设置A数组，单点更新只需修改树状数组C即可。下标写成二进制：C[(001)],C[(010)],C[(100)],C[(1000)]；
lowbit(1)=001 1+lowbit(1)=2(010) C[2]+=val；
lowbit(2)=010 2+lowbit(2)=4(100) C[4]+=val；
lowbit(4)=100 4+lowbit(4)=8(1000) C[8]+=val；
由于c[1] c[2] c[4] c[8] 都包含有A[1]，所以在更新A[1]时实际上就是更新每一个包含A[1]的节点。
总结
树状数组的重点就是利用二进制的变化，动态地更新树状数组。
树状数组的每一个节点并不是代表原数组的值，而是包含了原数组多个节点的值。
所以在更新A[1]时需要将所有包含A[1]的C[i]都加上val这也就利用到了二进制的神奇之处。
如果是更新A[i]的值，则每一次对C[i] 中的 i 向上更新，即每次i+=lowbit(i),这样就能C[i] 以及C[i] 的所有父节点都加上val。
反之求区间和也是和更新节点值差不多，只不过每次 i-=lowbit(i)。