Java 实现杨辉三角形

一、原理

杨辉三角形，也被称为帕斯卡三角形，是一种由数字构成的三角形，它的特点是每个数字都是它上方两个数字的和。这个三角形是以法国数学家布莱兹·帕斯卡和中国数学家杨辉命名的。

杨辉三角形的原理可以通过以下步骤来解释：

1. 第一行只有一个数字 1。
2. 第二行有两个数字 1。
3. 从第三行开始，每一行的第一个数字和最后一个数字都是 1。中间的数字是上一行的相邻两个数字之和。例如，第三行的中间数字是上一行的第一个数字 1 和第二个数字 1 相加得到的，结果是 2。
4. 每一行的数字个数比上一行多 1。

通过这样的规律，可以逐行构建杨辉三角形。每一行的数字可以用组合数来表示，例如第 n 行的第 k 个数字可以表示为 C(n-1, k-1)，其中 n 表示行数，k 表示数字在该行的位置。

杨辉三角形在组合数学、概率论、代数等领域有广泛的应用，它的性质和规律被广泛研究和应用于解决各种数学问题。

二、代码实现

//n 是杨辉三角形的行数
public void yanghui(int n) {
    
    
    //创建列不固定的二维数组
    int[][] arr = new int[n][];
    for (int i = 0; i < n; i++) {
    
    
        //每一行的数字个数
        arr[i] = new int[i + 1];

        for (int j = 0; j < i + 1; j++) {
    
    
            //第一个和最后一个数字为 1
            //其他数字为上一行相邻的两个数字之和
            if (j == 0 || j == i) {
    
    
                arr[i][j] = 1;
            } else {
    
    
                arr[i][j] = arr[i - 1][j] + arr[i - 1][j - 1];
            }
        }
    }

    //打印杨辉三角形
    System.out.println("杨辉三角形前 " + n + " 行数据如下：");
    for (int i = 0; i < n; i++) {
    
    
        for (int j = 0; j < i + 1; j++) {
    
    
            System.out.printf(arr[i][j] + "\t");
        }
        System.out.println();
    }
}

• 时间复杂度：填充数组的循环需要执行n*(n+1)/2次，打印数组的循环需要执行n*(n+1)/2次。因此，总的时间复杂度为 O(n^2)。
• 空间复杂度：二维数组arr的空间复杂度为 O(n^2)，用于存储杨辉三角形的数字。

三、运行结果

杨辉三角形前 10 行数据如下：
1
1       1
1       2       1
1       3       3       1
1       4       6       4       1
1       5       10      10      5       1
1       6       15      20      15      6       1
1       7       21      35      35      21      7       1
1       8       28      56      70      56      28      8       1
1       9       36      84      126     126     84      36      9       1