先说好，第八章不学。
学习目标
- 熟练掌握三次Bezier曲线
- 熟练掌握双三次Bezier曲面
- 熟练掌握B样条曲线
- 熟练掌握双三次B样条曲面
曲线与曲面的表示形式
插值与逼近
其实就是数学上的定义。
插值（Interpolation）：当用一组数据点来指定曲线的形状时，曲线精确地通过给定的数据点且形成光滑的曲线，称为曲线的插值。
逼近(Approximation)：当用一组控制点来指定曲线的形状时，曲线被每个控制点所吸引，但实际上并不经过这些控制点，称为曲线的逼近 。
插值与逼近统称为拟合（Fitting）。
为了保证在连接点处光滑过渡，需要满足连续性条件。
曲线间连接的光滑度的度量有两种
Bezier曲线
定义
看最后的式子就行，。
在实际应用中，最常用的是三次Bezier曲线，其次是二次Bezier曲线，高次Bezier曲线一般很少使用。
void CTestView::DrawBezier()//绘制Bezier曲线
{
CDC *pDC=GetDC();
CPen NewPen,*pOldPen;
NewPen.CreatePen(PS_SOLID,1,RGB(0,0,255));//曲线颜色
pOldPen=pDC->SelectObject(&NewPen);
pDC->MoveTo(P[0]);
for(double t=0.0;t<=1.0;t+=0.01)
{
double x=0,y=0;
for(int i=0;i<=n;i++)
{
x+=P[i].x*C(n,i)*pow(t,i)*pow(1-t,n-i);
y+=P[i].y*C(n,i)*pow(t,i)*pow(1-t,n-i);
}
pDC->LineTo(Round(x),Round(y));
}
pDC->SelectObject(pOldPen);
NewPen.DeleteObject();
ReleaseDC(pDC);
}
double CTestView::C(const int &n, const int &i)//Bernstein第一项
{
return double(Fac(n))/(Fac(i)*Fac(n-i));
}
long CTestView::Fac(int n)//阶乘函数
{
int f;
if(0==n||1==n)
f=1;
else
f=n*Fac(n-1);
return f;
}
//Power幂，Factorial阶乘
一次Bezier曲线
控制点P到底是坐标的形式还是其他表示形式目前还不知道。
二次Bezier曲线⭐⭐⭐
即使要拟合的是折线，Bezier曲线也是弯的。
三次Bezier曲线⭐⭐⭐
自由曲线：属于曲线的一种,形态变化自然,有较强的随意性,线的走向比较自由,没有明显的规律,变化比较丰富。
三次Bezier曲线的Bernstein基函数：
在区间〔0,1〕范围内，每个基函数均不为零，
说明不能使用控制多边形对曲线的形状进行局部调整，如果要改变某一控制点位置，整条曲线都将受到影响。
Bernstein基函数的性质
端点这里更像是起始点。
导函数推导过程：
Bezier曲线的性质
Bernstein基函数的性质决定了Bezier曲线的性质
p的式子参考曲线的定义部分。
推导过程：
起始点和终止点的二阶导数分别取决于最开始的3个控制点和最后的3个控制点。
这个性质说明Bezier曲线在控制多边形的起点和终点上具有相同的性质
？？？曲线控制多边形？这里不对吧？
这说明Bezier曲线位于控制多边形构成的凸包之内，而且永远不会超出凸包的范围。
de Casteljau算法
Bezier曲线上的点，可以使用Bezier曲线方程直接计算，但使用de Casteljau递推算法则要简单的多。
几何作图法
r为递推次数，也是P的上标。
n是控制点P的个数减一。
BUT！
绘制Bezier曲线函数代码
void CTestView::DrawBezier()
{
CDC* pDC=GetDC();
pDC->MoveTo(P[0]);
for(int k=0;k<=n;k++)
{
pt[k].x=P[k].x;
pt[k].y=P[k].y;
}
for(double t=0.0;t<=1.0;t+=0.01)
{
deCasteljau(t,pt);
pDC->LineTo(Round(pp[0][n].x),Round(pp[0][n].y));
}
ReleaseDC(pDC);
}
de Casteljau函数代码
void CTestView::deCasteljau(double t,CP2 *p)
{
for(int k=0;k<=n;k++)
{
pp[k][0]=p[k];
}
for(int r=1;r<=n;r++)//de Casteljau递推公式
{
for(int i=0;i<=n-r;i++)
{
pp[i][r].x=(1-t)*pp[i][r-1].x+t*pp[i+1][r-1].x;
pp[i][r].y=(1-t)*pp[i][r-1].y+t*pp[i+1][r-1].y;
}
}
}
Bezier曲线的拼接
一条Bezier曲线往往难以描述复杂的曲面形状。这是由于增加控制多边形的顶点数，会引起Bezier曲线次数的提高，而高次Bezier曲线会带来计算上的困难。
工程中经常使用的是二次或三次Bezier曲线的拼接，要求在结合处满足一定的连续性条件。
拼接后：
Bezier曲面
Bezier曲面的定义
双三次Bezier曲面的定义
生成曲面时可以通过先固定u, 变化v得到一簇Bezier曲线；
然后固定v，变化u得到另一簇Bezier曲线，两簇曲线交织生成Bezier曲面。
双三次Bezier曲面的拼接
与Bezier拼接类似，两张双三次Bezier曲面片也可以拼接在一起。其Beizer曲面片表述如下:
**
**
一般情况下，在连接处保持一阶导数连续较为困难，要求两个控制多边形中位于交点处的两条边必须共线，但设计中很难做到这一点。图7-28所示为满足G1连续性的条件的两片Bezier曲面的控制多边形。
B样条曲线
Bezier曲线虽然有许多优点，但也存在不足之处：
- 其一、确定了控制多边形的顶点个数为n+1个，也就确定了曲线的次数为n次；
- 其二、控制多边形与曲线的逼近程度较差，次数越高，逼进程度越差；
- 其三、曲线不能局部修改，调整某一控制点将影响到整条曲线，原因是Bernstein基函数在整个区间[0，1]内有支撑，所以曲线在区间内任何一点的值都将受到全部顶点的影响，调整任何控制点的位置，将会引起整条曲线的改变；
- 其四、Bezier曲线的拼接比较复杂。
为了解决上述问题，Gordon和Riesenfeld于1972年用B样条基函数代替了Bernstein基函数，构造了B样条曲线。
先有B样条基函数再有B样条曲线。
B样条曲线的定义
二次B样条曲线
二次B样条曲线的n＝2，k＝0，1，2。二次B样条曲线是二次多项式 。
几何性质
其实这些都是矩阵表示，之不过在推演的时候用的算式。
三次B样条曲线
几何性质
B样条曲线的性质
最后一句话是细节。
局部性质
在B样条曲线中，n次每段B样条曲线受n+1个控制点影响，改变一个控制点的位置，最多影响n+1个曲线段，其它部分曲线形状保持不变。
构造特殊的三次B样条曲线的技巧
B样条曲面
定义
双三次B样条曲面的定义
双三次B样条曲面是由三次B样条曲线交织而成。曲面生成时可以先固定u, 变化v得到一簇三次B样条曲线；然后固定v，变化u得到另一簇三次B样条曲线。与三次B样条曲线相似，双三次B样条曲面一般情况下不通过控制网格的任何顶点。
双三次B样条曲面的连续性
B样条曲线和Bezier曲线的最主要差别在于基函数不同。
Bernstein基函数是一个整体函数，而B样条基函数一个分段函数，所以B样条曲线可以进行局部控制点调整。
Bezier曲线曲面的阶次与控制多边形的顶点数有关，B样条曲线曲面的阶次可以自由决定。这样如果控制多边形顶点数超过4个时，两段三次Bezier曲线或两张双三次Bezier曲面片之间连接时就存在拼接的问题，而B样条曲线曲面可以自由地扩展到多个控制点，始终保持阶次不变，而且扩展后的分段曲线或分段曲面实现了自然连接。