数字图像处理 --- 相机的内参与外参（CV学习笔记）

Pinhole Camera Model（针孔相机模型）

针孔相机是一种没有镜头、只有一个小光圈的简单相机。光线穿过光圈并在相机的另一侧呈现倒立的图像。为了建模方便，我们可以把物理成像平面(image plane)上的图像移到实际场景(3D object)和焦点(focal point)之间，把他想象成一个和物理成像平面等大小的虚拟图像平面(Virtual image plane)，这样一来就不再是倒立的图像，而是直立图像。

有了相机后，上图中的蓝色盒子就变成了相机，上图中的物理成像平面Image plane也被数字化到由一个个pixel组成的sensor上，并保存下来。因此，对于相机而言，上图中的焦点就是相机的镜头，而上图中的物理成像平面，需要被转换成像素平面(pixel plane)，物理成像平面(image plane)与像素平面(pixel plane)大小相同，计量单位不同。物理成像平面的单位是一个物理单位，例如mm,，而像素平面实际上就是一个二维图像，他的单位实际上是某某pixel在图像中的第几行第几列。

为了后续的描述方便我们这里先定义四个坐标系：

1，二维像平面(焦平面)坐标系Image plane，原点为 $O_{i}$ ，坐标轴用 $x_{i}$ ， $y_{i}$ 表示。

2，二维图像坐标系pixel plane，原点为 $O_{p}$ ，坐标轴用 $u_{p}$ ， $v_{p}$ 表示。

3，三维相机坐标系pinhole plane/camera，原点为 $O_{c}$ ，坐标轴用 $x_{c}$ ， $y_{c}$ ， $z_{c}$ 表示。

4，三维世界坐标系world，原点为 $O_{w}$ ，坐标轴用 $x_{w}$ ， $y_{w}$ ， $z_{w}$ 表示。

将3D世界场景映射成2D图像(像素平面pixel plane)总共分两步，第一步是把定义在世界坐标系中的实际3D物体映射到3D相机极坐标系中。相当于是把实际世界中的物体分别通过两个不同的坐标系来表示，然后通过找到这两个不同坐标系之间的差异，建立这两个坐标系之间的联系。这一转换关系就是下图中 $O_{w}$ 到 $O_{c}$ 的转换。

从3D世界坐标系(world coordinates)到3D相机坐标系(camera coordinates)，需要用到外参(extrinsic parameters)或外参矩阵(extrinsic matrix)--->[R t]。

其次，从3D相机坐标系(camera coordinates)到2D像素坐标系(pixel plane)需要用到内参(intrinsic parameters)或内参矩阵(intrinsic matrix)--->K。同样是把成像后的图像，用两个不同的坐标系来表示，然后再建立这两个坐标系(物理成像坐标系与二维图像坐标系)之间的联系，使两者可以相互转换。

extrinsic parameters外参：世界坐标系到相机坐标系

对于世界坐标系中的某一点大M而言，他本身是存在了，并不会因为我们有没有建立坐标系而受影响。但当我们人为的建立坐标系以后，这个点在我们所定义的坐标系下就有坐标值了。首先，对于点M而言，他在世界坐标系下可表示为M=[ $x_{w}^{M},y_{w}^{M},z_{w}^{M}$ ]，而在相机坐标系中M=[ $x_{c}^{M},y_{c}^{M},z_{c}^{M}$ ]，这是同一个点，只不过在不同的坐标系所对应的坐标值不同。(其中： $x_{w}^{M}$ 中的上角标“M”表示点M,下角标"w"表示世界坐标系worl，以此类推，关于下角标的定义可参照我上面定义的四个坐标系。)

相机坐标系相对于世界坐标系而言，我们不能保证两个坐标系的原点完全重合，因此，对于x-y-z都存在一定的位移，由一个3x1矩阵t(translation)表示，其中每个元素分别对应了x-y-z方向上的位移:

$t=\begin{bmatrix} t_{x}\\ t_{y}\\ t_{z} \end{bmatrix}$

此外，我们也不能保证相机在拍照时没有任何角度的偏差，因此，这两个坐标系的坐标轴存在一个整体的旋转。由一个3x3矩阵R(rotation)表示：

$R=\begin{bmatrix} r_{11} &r_{12} &r_{13} \\ r_{21} &r_{22} &r_{23} \\ r_{31} &r_{32} & r_{33} \end{bmatrix}$

二者合并得到增广矩阵[R|t]，使得:

$[R|t]\begin{bmatrix} x_{w}^{M}\\ y_{w}^{M}\\ z_{w} ^{M}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x_{c}^{M}\\ y_{c}^{M}\\ z_{c}^{M} \end{bmatrix}$

其中：

$[R|t]=\begin{bmatrix} r_{11} &r_{12} &r_{13} & t_{x}\\ r_{21} & r_{22} &r_{23} & t_{y} \\ r_{31} &r_{32} &r_{33} & t_{z} \end{bmatrix}$

这一数学表达式的意义是：一个在世界坐标系中定义的点，如果要用相机坐标系来表示，可以用矩阵[R|t]左乘该点的世界坐标系坐标实现。

这样一来就完成了大M点在世界坐标系下的坐标值到相机坐标系下的坐标值的转化：

$\begin{bmatrix} x_{c}^{M}\\ y_{c}^{M}\\ z_{c}^{M} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} r_{11} &r_{12} &r_{13} & t_{x}\\ r_{21} & r_{22} &r_{23} & t_{y} \\ r_{31} &r_{32} &r_{33} & t_{z} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{w}^{M}\\ y_{w}^{M}\\ z_{w}^{M}\\ 1 \end{bmatrix}$

Intrinsic parameters内参:

通过前面的研究，我们找到了世界坐标系与相机坐标系的联系，相当于学会了用相机坐标系来表示世界的物体(3D Object)，现在，我们用相机坐标系来分别描述世界中的实际物体与“挪到前面来的”物理成像平面中物体的像，即，在相机坐标系中用不同的坐标值定义了世界中的实际物体大M点与虚拟成像平面上的像---小m点(图一)，并找到他们之间的联系。

(图一)

$O$ 表示光心，也叫摄影中心。过光心做垂直于物理成像平面的直线叫主光轴(principal axis)，垂点 $O$ 叫主点(principal point)。光心 $O$ 与主点 $O_{c}$ 之间的距离为焦距f。

现在，在相机坐标系中，我们令世界中的某一点大M的坐标值为M=[ $x_{c}^{M},y_{c}^{M},z_{c}^{M}$ ]。在虚拟成像平面中所成的像为小m，且小m的坐标值为m=[ $x_{c}^{m},y_{c}^{m},z_{c}^{m}$ ](注意：x-y-z的上角标，我用大写的M表示实际点大M所对应的坐标值，用小写的m表示虚拟成像平面中的点小m)。同时，我们令主光轴与相机坐标系中的 $z_{c}$ 轴重合，单看相机坐标系中由 $y_{c}$ 与 $z_{c}$ 轴组成的平面(图二)，我们令大M在这一平面上的投影为 $M_{y}$ ，令小m在 $y_{c}$ - $z_{c}$ 平面上的投影为 $m_{y}$ 。

(图二)

在三角形 $O_{c}Om_{y}$ 中，线段 $O_{c}O$ 的长度为小m在 $z_{c}$ 轴方向的坐标值 $z_{c}^{m}$ ，线段 $m_{y}O$ 的长度为小m在 $y_{c}$ 轴方向的坐标值 $y_{c}^{m}$ 。在三角形 $O_{c}QM_{y}$ 中，线段 $O_{c}Q$ 的长度为 $z_{c}^{M}$ ，线段 $M_{y}Q$ 的长度为 $y_{c}^{M}$ 。根据三角形 $O_{c}Om_{y}$ 与三角形 $O_{c}QM_{y}$ 相似，可以建立如下关系：

$z_{c}^{M}/z_{c}^{m}=y_{c}^{M}/{y_{c}^{m}}$

又因为小m点一定在物理成像平面上，则，在3D相机坐标系中， $z_{c}^{m}$ 恒等于等于焦距f，代入上式后得出：

$z_{c}^{M}/f=y_{c}^{M}/{y_{c}^{m}}$

${y_{c}^{m}}={f}*y_{c}^{M}/z_{c}^{M}$

同样，如果单看相机坐标系中的 $x_{c}$ 与 $z_{c}$ 轴所组成的平面(见图三)，且用 $M_{x}$ 表示大M在这一平面上的投影，用 $m_{x}$ 表示小m在 $x_{c}$ - $z_{c}$ 平面上的投影：

(图三)

根据相似相似三角形 $O_{c}Om_{x}$ 与三角形 $O_{c}QM_{x}$ ，可以建立如下关系

$z_{c}^{M}/z_{c}^{m}=x_{c}^{M}/{x_{c}^{m}}$

$z_{c}^{M}/{f}=x_{c}^{M}/{x_{c}^{m}}$

${x_{c}^{m}}={f}*x_{c}^{M}/z_{c}^{M}$

这样一来，我们就建立了世界中的大M与虚拟成像平面上的对应点小m，在相机坐标系中的关系：

${x_{c}^{m}}={f}*x_{c}^{M}/z_{c}^{M}$

${y_{c}^{m}}={f}*y_{c}^{M}/z_{c}^{M}$

（上面两式合称为公式1）

相机坐标系到像平面坐标系：

又因为，虚拟成像平面中的小m点，不仅在3D相机坐标系中，也在2D像平面坐标系中。且，像平面坐标系的中心在主光轴上。这就意味着，对于同一个点光心O而言，他在相机坐标系下的坐标值和在2D像平面坐标系下的坐标值相同。即，光心在相机坐标系下的坐标值为[ ${x_{c}^{O}}$ =0， ${y_{c}^{O}}$ =0]，同时，他在2D像平面坐标系中的坐标值也等于[ ${x_{i}^{O}}$ =0， ${y_{i}^{O}}$ =0]

同理，已知相机坐标系中小m点的坐标值为m=[ ${x_{c}^{m}}$ ， ${y_{c}^{m}}$ ]，令小m点在相平面中的坐标值为m=[ ${x_{i}^{m}}$ ， ${y_{i}^{m}}$ ]，则有：

${x_{i}^{m}}={x_{c}^{m}}$

${y_{i}^{m}}={y_{c}^{m}}$

（公式2）

如图四所示：

(图四)

这就完成了相机坐标系到像平面坐标系的转换。

像平面坐标系到图像坐标系：

在相机内部，物理成像平面被sensor以pixel为单位采样了，且，图像坐标系的原点 $O_{p}$ 在图像的左上角，见图五。因此，像平面坐标系中的小m点的坐标值，还需要一个转换关系。

(图五)

一方面，图像坐标系是用mxn个像素对像平面坐标系的采样。所以需要一个由mm为单位的像平面坐标系到以pixel为单位的图像坐标系的转换。

假设图像传感器的物理尺寸，也就是物理成像平面的大小为mxn(mm)，传感器保存的图像尺寸为wxh(pixel)。要想把mxn的像保存到wxh的图上，则，以mm为单位的物理成像平面与以pixel为单位的图像之间的比例关系为：

$dx=m/w(mm/pixel)$

$dy=n/h(mm/pixel)$

第一个等式表示，图像中每个pixel的物理尺寸有多宽mm。

第二个等式表示，图像中每个pixel的物理尺寸有多高mm。

这样一来，就能用图像坐标系的坐标值(第几行第几列)来替换小m点在像平面坐标系中的坐标值(即，在 $x_{i}$ 方向的长度为 $x_{i}^{m}$ (mm)和在 $y_{i}$ 方向的长度为 $y_{i}^{m}$ (mm))：

$u_{p}^{m}(pixel)=x_{i}^{m}(mm)/dx(mm/pixel)$

$v_{p}^{m}(pixel)=y_{i}^{m}(mm)/dy(mm/pixel)$

（公式3）

另一方面：二维图像坐标系的原点在图像(sensor)的左上角，而像平面坐标系的原点则是在senor的中心。因此，对于同一个点光心O而言，他在2D图像坐标系下的坐标值和在2D像平面坐标系下的坐标值不同，这两个坐标值之间存在一个偏移量Offset。我们在图像坐标系内定义 $u_{p}$ 方向上 $O_{p}$ 到 $O_{i}$ 的偏移量为 $u_{p}^{offset}$ ，他等于图像的宽度的一半---w/2，在 $v_{p}$ 方向上 $O_{p}$ 到 $O_{i}$ 的偏移量为 $v_{p}^{offset}$ ，他等于图像的长度的一半---h/2。

光心O在图像坐标系中的坐标值是：

${u_{p}^{O}}(pixel)={x_{i}^{O}}(mm)+{u_{p}^{offset}}(pixel)$

${v_{p}^{O}}={y_{i}^{O}}+{v_{p}^{offset}}$

（公式4）

其中：

${u_{p}^{offset}}=w/2(pixel)$

${v_{p}^{offset}}=h/2(pixel)$

公式4的意思是：光心O在图像平面中的坐标值等于他在像平面中的坐标值加上一定的偏移量。同理，已经转换到图像坐标系内的小m点的坐标值(见公式3)，加上Offset后为：

$u_{p}^{m}(pixel)=x_{i}^{m}(mm)/dx(mm/pixel)+{u_{p}^{offset}}(pixel)$

$v_{p}^{m}(pixel)=y_{i}^{m}(mm)/dy(mm/pixel)+{v_{p}^{offset}}(pixel)$

（公式5）

进一步，将公式2带入公式5后有：

$u_{p}^{m}(pixel)=x_{c}^{m}(mm)/dx(mm/pixel)+{u_{p}^{offset}}(pixel)$

$v_{p}^{m}(pixel)=y_{c}^{m}(mm)/dy(mm/pixel)+{v_{p}^{offset}}(pixel)$

然后再带入公式1，得到：

$u_{p}^{m}(pixel)={f}*x_{c}^{M}/z_{c}^{M}(mm)/dx(mm/pixel)+{u_{p}^{offset}}(pixel)$

$v_{p}^{m}(pixel)={f}*y_{c}^{M}/z_{c}^{M}(mm)/dy(mm/pixel)+{v_{p}^{offset}}(pixel)$

（公式6）

我们令 $f_{x}=f/d_{x},f_{y}=f/d_{y}$ ，则上式可简化为：

$u_{p}^{m}(pixel)=f_{x}*x_{c}^{M}/z_{c}^{M}(pixel)+{u_{p}^{offset}}(pixel)$

$v_{p}^{m}(pixel)=f_{y}*y_{c}^{M}/z_{c}^{M}(pixel)+{v_{p}^{offset}}(pixel)$

（公式7）

其中：

1， $f_{x}$ 表示以mm为单位的物理焦距f，在横向等于多少个像素。

2， $f_{y}$ 表示以mm为单位的物理焦距f，在竖向等于多少个像素。

公式7用矩阵的方式可表示为：

$\begin{bmatrix}u_{p}^{m} \\v_{p}^{m} \\1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} f_{x} & 0&u_{p}^{offset} \\ 0& f_{y} &v_{p}^{offset} \\ 0& 0& 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{c}^{M}/z_{c}^{M} \\y_{c}^{M}/z_{c}^{M} \\1 \end{bmatrix}$

一般情况下， $u_{p}^{offset}$ 在x方向与y方向的偏移量正好是图像长宽的一半，即[ $c_{x}=w/2$ ， $c_{y}=h/2$ ]。这样一来内参矩阵可改为：

$\begin{bmatrix}u_{p}^{m} \\v_{p}^{m} \\1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} f_{x} & 0&c_{x} \\ 0& f_{y} &c_{y} \\ 0& 0& 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{c}^{M}/z_{c}^{M} \\y_{c}^{M}/z_{c}^{M} \\1 \end{bmatrix}$

其中的3x3矩阵，就叫内参矩阵，用大写的英文字母K表示。

总结：

最后我们来梳理一下整个转换过程：

1，大M点在世界坐标系下的坐标值[ $x_{w}^{M},y_{w}^{M},z_{w}^{M}$ ]，通过外参矩阵[R t]得到了大M点在相机坐标系中的坐标值[ $x_{c}^{M},y_{c}^{M},z_{c}^{M}$ ]。(通过同一点在不同坐标系中的坐标值，找到两个坐标系之间的关系。)

2，在相机坐标系中，根据相似三角形求出大M点在虚拟成像平面中所对应的小m点的坐标值[ $x_{c}^{m},y_{c}^{m},z_{c}^{m}$ ]。（通过同一坐标系下的不同点，找到这两个点之间坐标值的联系）

3，根据虚拟成像平面在相机坐标系中的位置，根据小m点在相机坐标系下的坐标值[ ${x_{c}^{m}}$ ， ${y_{c}^{m}}$ ， ${z_{c}^{m}}=f$ ]得到他在像平面坐标系下的坐标值[ ${x_{i}^{m}}$ = ${x_{c}^{m}}$ ， ${y_{i}^{m}}$ = ${y_{c}^{m}}$ ]。(通过同一点在不同坐标系中的坐标值，找到两个坐标系之间的关系。)

4，最后，根据像平面坐标系与图像坐标系的相对关系，通过内参矩阵把小m点在像平面中的坐标值[ ${x_{i}^{m}}$ ， ${y_{i}^{m}}$ ]转到了图像坐标系中所对应的坐标值[ $u_{p}^{m}$ ， $v_{p}^{m}$ ]。

参考文献：

1，https://www.cnblogs.com/xiaohuidi/p/15711767.html

2，What Is Camera Calibration?- MATLAB & Simulink- MathWorks 中国

3，2.3 透视投影的相机模型_哔哩哔哩_bilibili

（配图与本文无关）

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Pinhole Camera Model（针孔相机模型）

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