数学建模：17 微分方程

% 方法1
dsolve('y-Dy=2*x','y(0)=3','x')
% 解析解：y = 2*x + exp(x) + 2
% Dy表示一阶微分 dy/dx
% D2y表示二阶微分

% 方法2
syms y(x)
eqn = (y - diff(y,x) == 2*x);  % 要用双等号！！
cond = (y(0) == 3);            % 初始条件
dsolve(eqn,cond)
% diff(y,x) 即 dy/dx


% 方法1
dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x') 
% 3*sin(5*x)*exp(-2*x)

%%%%%%%% 画图：点乘！！！
x = -2:0.01:2;
y = 3*sin(5.*x)*exp(-2*x)
plot(x,y,'b-')

% 方法2
syms y(x)
eqn = (diff(y,x,2) + 4 *diff(y,x) + 29*y  == 0);  
Dy = diff(y,x); % 定义变量Dy为y的一阶导数!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
cond = [(y(0) == 0) ,(Dy(0) ==15)] ; % 有两个条件，可以写到一个向量中保存
dsolve(eqn,cond)
% 3*sin(5*x)*exp(-2*x)


% 方法1
[x,y,z] = dsolve('Dx=2*x-3*y+3*z+t','Dy=4*x-5*y+3*z+t','Dz=4*x-4*y+2*z+t','t') 
A = dsolve('Dx=2*x-3*y+3*z+t','Dy=4*x-5*y+3*z+t','Dz=4*x-4*y+2*z+t','t') 
A.x

% 方法2
syms x(t) y(t) z(t)
eqn1 = (diff(x,t)  == 2*x-3*y+3*z+t); 
eqn2 = (diff(y,t)  == 4*x-5*y+3*z+t); 
eqn3 = (diff(z,t)  == 4*x-4*y+2*z+t); 
eqns = [eqn1 eqn2 eqn3];
[x,y,z] = dsolve(eqns)

求出解析解后，画图：记得把解析解中的加减乘除换成点乘、点乘方！！！

simplify(y)  % simplify函数可以简化表达式
latex(y)     % 转换成latex代码，复制到Axmath或者word自带的公式编辑器

数值解

[x,y] = ode45('df1',[0,2],3);  
% [x,y] = ode45(@df1,[0,2],3);   % 解决非刚性问题，这个解不出就试一试ode15s
% [x,y] = ode23('df1',[0,2],3);
% [x,y] = ode113('df1',[0,2],3);
% [x,y] = ode15s('df1',[0,2],3); % 解决刚性问题


%%  设定相对误差reltol和绝对误差，这样可以提高微分方程数值解的精度
options = odeset('reltol',1e-4,'abstol',1e-8);
[x,y] = ode45('df1',[0,2],3,options);

%%  如果觉得x的间隔不够小，我们可以指定要求解的位置
[x,y] = ode45('df1',[0:0.001:2],3,options);


%%%%% 有参数的话只能用函数句柄传参
[t,x]=ode45(@(t,x) newfun2(t,x,GAMMA),[1:500],[N-i0 i0 0]);

一阶微分方程

先看有没有解析解，没有才求数值解

注意 .m 文件中要将微分方程写成标准形式（等式左边是一阶微分，右边是剩余部分）

%% 先看有无解析解，如果没有解析解再考虑数值解
[y1 y2 y3] = dsolve('Dy1=y2*y3',
                    'Dy2=-y1*y3',
                    'Dy3=-0.51*y1*y2',
                    'y1(0)=0,y2(0)=1,y3(0)=1','x')

%% 调用ode45函数求解微分方程df2.m，
% 自变量x的范围为[0,4*pi] ;初始值: y1(0)=0,y2(0)=y3(0)=1 
[x, y] = ode45('df2', [0 4*pi], [0 1 1]);  
% 返回值y是一个有3列的矩阵，第一列是y1、以此类推

% x 是范围中的一些取值，y是x对应的函数值，画出图像后用离散的数值解近似解析解的图像
plot(x, y(:,1), 'o', x, y(:,2), '*', x, y(:,3), '+') 
legend('y1','y2','y3')  % 加上标注
axis([0, 4*pi, -inf, +inf])  % 设置横坐标范围为0-4pi，纵坐标范围不需要设置，写成-inf到+inf


%%% df2.m文件：
function dy = df2(x,y) 
       % x是自变量，y是因变量，由y1,y2,y3组成 
       dy = zeros(3,1);  
       % 初始化用来储存因变量一阶导数的列向量（不能写成行向量）
       dy(1) = y(2) * y(3);
       dy(2) = -y(1) * y(3);
       dy(3) = -0.51 * y(1) * y(2);
%     上面四行可以写成一行：   dy = [ y(2) * y(3);   -y(1) * y(3);  -0.51 * y(1) * y(2)]
end

高阶微分方程

高阶微分方程求数值解，必须先转化为一阶微分方程（高数中学过的方法降阶）

% 先看这个微分方程有没有解析解
dsolve('D2y=1000*(1-y^2)*Dy-y','y(0)=2,Dy(0)=0','x')  % 警告: Explicit solution could not be found. 

% 下面计算数值解
% 如果使用ode45函数会发现计算的非常慢，matlab一直显示正忙(windows电脑在命令行窗口按Ctrl+C可以终止运行)
% [x,y]=ode45('df4',[0,3000],[2,0]);  % 求出这个微分方程df4的数值解
% 所以我们可以使用刚性问题的函数ode15s对其求解
[x,y]=ode15s('df4',[0,3000],[2,0]);  % 求出这个微分方程df4的数值解
plot(x,y(:,1),'*') % 注意，y变量有两列，第一列是y1(我们要求的y)，第二列是y2(y的一阶导数)


%%%%%%%%%%%%%% df4.m
function dy=df4(x,y)
    dy=zeros(2,1);
    dy(1)=y(2);
    dy(2)=1000*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1);
end

人口预测模型

Malthus 马尔萨斯模型

模型假设与推导：（绿框中为结果）

存在的问题：r 不是常数，随人口增大而减小，先假设是线性的递减函数（工程师原则）—— logistic模型

Logistic 阻滞增长模型

f(t) = xm/(1+(xm/3.9-1)*exp(-r*(t-1790)))

matlab曲线拟合工具箱 Curve fitting

自定义拟合方程：

在高级选择项中修改参数使得更加拟合：（修改了右下方的r、xm的起点、上下限）

捕食者猎物模型

只考虑一对捕食者与食饵：（基于指数增长的马尔萨斯模型）

食饵单独存在时候的增长率（受到捕食者数目的影响）、捕食者单独存在的死亡率（受到食饵数目的影响）、人工捕获食饵的影响（减少食饵增长率、增大捕食者死亡率）

食饵考虑增长率 dx/dt = rx 是正号，鲨鱼考虑死亡率 dx/dt = -rx 是负号！！！

食饵考虑被捕食的影响（负向影响），该影响与捕食者数目成正比，即 -λx；
捕食者考虑捕食的影响（正向影响），该影响与食饵数目成正比，即 +λx；

参数 x1 和 x2 的初值、r、e、λ 的值都自己确定，用 ode45 解

结果分析

相轨线图：

（1）从下方开始逆时针去看上面这个相轨线图：随着食饵增多，则鲨鱼易于取食，所以鲨鱼数量增加；然而，由于鲨鱼数量的增多而需要食用更多的食饵，此时食饵的数量正在下降，直到饵数量特别少时，鲨鱼进入了饥饿的状态而使得鲨鱼的数量急剧下降，这时部分食饵得以存活，食饵数量重新开始回升；食饵与鲨鱼的数量交替增减形成了生物圈中的动态平衡。

（2）另外，蓝色的圈代表战后的数量变化，可以看出，蓝色的圈几乎把红色的圈包在里面，且蓝色圈的上方和红色圈的上方差距较大，这说明战后鲨鱼的增长速度要明显快于红圈，这导致了鲨鱼数量的大幅增长，和生物学家 D'Ancona 观察到的现象相一致。

种群竞争模型

竞争存在于资源有限的情况下，所以基于logistic模型考虑种群自然生长的情况，还应考虑竞争者对自己食物的竞争能力（与对方的数目 x/N 成比例）

考虑的都是增长率

这里相乘 > 1 的话，画出来的图像不稳定！！

种群依存模型

考虑自身数目的阻滞作用（基于logistic模型）

传染病模型

易感者 S （Susceptible）
潜伏者 E （Exposed）
感染者 I （Infected）
康复者 R （Recovered）

基础模型：
总人数 N 只包括在传染病系统中的总人数，在SIR模型康复了不会再感染的人不包括在N中，所以在SIR模型中 N'=S+I 人数变化；
但在SI、SIS模型中 N = S+I 恒定；
但在SISRS模型康复了的人还会再患病，所以 N = S+I+R 恒定
SEIR中，由于有人完全康复所以人数变化 N'=S+E+I

扩展模型：
考虑出生率、死亡率、因病死亡率时，总人数不是恒定的，所以在SIR模型、SI、SIS模型中仍有 N'=S+I 人数变化；
SIRS中，考虑出生死亡因病死亡 N'=S+I；
考虑 R 分为完全康复 R1（不会再患病）、可能再患病 R2， N'=S+I+R2

规律：

有几个状态就有几个针对该状态的微分方程，方框中的是状态：对方框中的状态求微分 dS、dI、dE、dR、dND自然死亡、dID因病死亡

状态转移图中，输入线对应方程中的 + 号、输出线是 - 号

SI模型

不考虑人口的迁徙和出生死亡，人口总人数 N = S + I

微分方程：人为给定 β、N，求 S、I 的数值解并画出图像

参数β（接触率）降低的情况

function dx=fun2(t,x)   
    global TOTAL_N   % 定义总人数为全局变量
    beta = 0.1;  % 易感染者与已感染者接触且被传染的强度
    if t > 60
        beta = beta/10; % 第60期后禁止大规模聚会，使得传染强度beta缩小为原来的10倍
    end
%     beta = 0.1 - 0.001*t
%     if beta < 0
%         beta = 0;
%     end
    dx = zeros(2,1); 
    % x(1)表示S  x(2)表示I
    dx(1) = - beta*x(1)*x(2)/TOTAL_N;  
    dx(2) = beta*x(1)*x(2)/TOTAL_N;
end