2023 天府杯全国大学生数学建模竞赛暨“室温超导专题赛“ 深度剖析

问题重述

近年来，室温超导材料的研究为能源传输和储存领域带来了重要的突破，LK66的研究声称，其材料可以在常温下实现电流零电阻传输。与此同时，可再生能源的利用不断发展，但由于其间歇性和不稳定性，传输和储存仍然具有挑战。本次竞赛旨在探讨如何将室温超导材料应用于可再生能源传输，以实现高效、稳定的能量传输与储存。选手需根据给定情景，设计数学模型和优化方案，解决以下问题：

Q1) 如何合理划分室温超导材料的传输路径，以最小化总能量损耗？

Q2) 在确保电网稳定运行的前提下，如何调整可再生能源的传输方案，以实现传输效率最大化？

Q3) 如何在考虑室温超导材料的生产成本和可再生能源发电成本的情况下，制定综合优化策略，平衡经济效益和环保效益？

问题一：如何合理划分室温超导材料的传输路径，以最小化总能量损耗？ 合理划分室温超导材料传输路径以最小化总能量损耗的数学模型：

符号说明：

$i,j$: 发电站点的索引
$t$: 时间段的索引
$d_{ij}$: 发电站点 $i$ 到站点 $j$ 的传输距离
$E_{it}$: 时间段 $t$ 内发电站点 $i$ 产生的能量
$P_{ijt}$: 时间段 $t$ 内从站点 $i$ 传输到站点 $j$ 的能量
$E_{ijt}$: 时间段 $t$ 内从站点 $i$ 传输到站点 $j$ 的总能量（考虑传输损耗）
$\eta$: 室温超导材料的传输效率
$P_{\text{max}}$: 室温超导材料的最大传输功率
$C_{\text{prod}}$: 室温超导材料的生产成本
$C_{\text{renew}}$: 可再生能源发电成本
$C_{\text{trans}}$: 电网传输成本
约束条件以及定量有：
目标函数：
$\text{Minimize }{\sum }_{i,j,t}(E_{it}-E_{ijt})+C_{\text{trans}}$

每个发电站点产生的能量等于传输到其他站点的总能量
${\sum }_j{P}_{ijt}=E_{it},\forall i,t$

每个发电站点传输的能量不能超过其在该时间段产生的能量
$P_{ijt}\le E_{it},\forall i,j,t$

每个传输路径的能量不能超过室温超导材料的最大传输功率
${\sum }_t{P}_{ijt}\le P_{\text{max}},\forall i,j$

总传输能量在室温超导材料的限制下不能超过最大传输功率
${\sum }_{i,j,t}{P}_{ijt}\le P_{\text{max}}$

考虑室温超导材料的传输效率，计算从站点 $i$ 到站点 $j$ 的总能量
$E_{ijt}=(1-\eta {)}^{d_{ij}}\cdot P_{ijt},\forall i,j,t$

每个传输路径的能量必须为非负数
$P_{ijt}\ge 0,\forall i,j,t$

我们可以使用综合分析的角度，利用线性规划与费用流求解

线性规划是一种数学优化方法，适用于解决线性目标函数和线性约束条件的问题。在这种情况下，目标函数和约束条件中的大多数都是线性的，但是由于整数变量（如传输功率）的存在，我们需要使用混合整数线性规划。

以下是使用混合整数线性规划来寻找最优传输路径方案的一般步骤：

建立目标函数： 将目标函数表示为需要最小化的能量损耗和传输成本的总和。
建立约束条件： 根据问题描述中的约束条件，将能量平衡、传输功率限制和其他限制转化为线性约束。
定义变量： 定义需要优化的变量，例如传输功率。
选择优化算法： 选择适当的混合整数线性规划求解器，例如Gurobi、CPLEX等。
求解： 将目标函数、约束条件和变量输入求解器，并运行求解器以找到能够最小化总能量损耗和传输成本的最优传输路径方案。
最小费用最大流算法可以用于解决流网络中的问题，其中需要在网络中流动的流量以最小的总费用达到最大的值。对应情景中，将发电站点视为网络中的节点，传输路径视为边，流量表示能量传输，费用表示传输成本。

具体来说，相应的简要步骤有：

建立流网络： 创建一个有向图，其中每个发电站点是一个节点，传输路径是有向边。每条边的容量为室温超导材料的最大传输功率，费用为传输成本。
定义源点和汇点： 将一个虚拟源点连接到所有可再生能源发电站点，将所有发电站点连接到一个虚拟汇点。这样，您可以将问题转化为在流网络中寻找从源点到汇点的最小费用最大流。
建立目标函数： 目标是最大化从源点到汇点的流量，同时最小化总费用。
求解最小费用最大流： 使用最小费用最大流算法，例如Dijkstra算法、Bellman-Ford算法等，找到从源点到汇点的最小费用最大流。
解码结果： 解码得到的最小费用最大流，获取传输路径和对应的能量传输。
我们根据线性规划与费用流进行综合分析，从而进行分配规划的选择与处理。

import networkx as nx
import pulp

# Given data 
num_generators = 4
num_time_periods = 3
P_max = 50 # Maximum transmission power
eta = 0.95 # Transmission efficiency
E = [
  [10, 15, 20],
  [25, 20, 15],
  [15, 10, 5],
  [20, 25, 15]
]
d = [
  [0, 20, 25, 0],
  [20, 0, 15, 30],
  [25, 15, 0, 25],
  [0, 30, 25, 0]
]

# Create a directed graph
G = nx.DiGraph()

P = {}  # Dictionary to hold variables
for i in range(num_generators):
    for j in range(num_generators):
        for t in range(num_time_periods):
            P[(i, j, t)] = pulp.LpVariable(f"P_{i}_{j}_{t}", lowBound=0, upBound=P_max, cat=pulp.LpContinuous)

# Define objective function
objective = pulp.lpSum((E[i][t] - (1 - eta) ** d[i][j] * P[(i, j, t)]) for i in range(num_gene## rators) for j in range(num_generators) for t in range(num_time_periods))
model += objective

# Add constraints
for i in range(num_generators):
    for t in range(num_time_periods):
        model += pulp.lpSum(P[(i, j, t)] for j in range(num_generators)) == E[i][t]

# Add transmission power limits
for i in range(num_generators):
    for j in range(num_generators):
        model += pulp.lpSum(P[(i, j, t)] for t in range(num_time_periods)) <= P_max

# Solve the problem
model.solve()

#完整详细请进入内容里观看


# Add nodes for generators and sink/source
for i in range(num_generators):
  G.add_node(f"generator_{i}")
G.add_node("source")
G.add_node("sink")

# Add edges with capacities and costs
for i in range(num_generators):
  G.add_edge("source", f"generator_{i}", capacity=E[i][0], weight=0) # Replace with appropriate time period
  G.add_edge(f"generato r ## _{i}", "sink", capacity=E[i][0], weight=0)  # Replace with appropriate time period
  for j in range(num_generators):
    if i != j:
      for t in range(num_time_periods):
        cost = (1 - eta) ** d[i][j] * E[i][t] * C_trans # Calculate cost based on transmission efficiency
        G.add_edge(f"generator_{i}", f"generator_{j}", capacity=P_max, weight=cost) # Add edge with capacity and cost

# Find minimum cost maximum flow
flowCost, flowDict = nx.netwo## rk_simplex(G)

# Print results
print("Total cost:", flowCost)
for edge, flow in flowDict.items():
  print(edge, flow)

#完整详细请进入内容里观看 进行了部分打码处理w

详细内容可见：

完整思路+文章：2023 天府杯全国大学生数学建模竞赛暨"室温超导专题赛" 深度剖析-CSDN博客