作者：禅与计算机程序设计艺术
1.简介
在现代信息通信领域，很多重大的突破性科技发明都是利用纠缠效应实现的。而纠缠模型往往是以量子纠缠(Quantum Coupling)作为研究重点，并称之为“量子纠缠”(Quantum Coupled-Cluster, QCC)。
其中的原理还是很简单，就是用量子态构建强大的核相互作用模型，就可以模拟分子与分子之间的复杂相互作用。比如电子的自旋轨道耦合、磁场耦合等。QCC可以用于超导体制造、高性能计算以及其它众多领域。
然而，由于其宏观上看起来相当复杂的性质，使得许多人都很难理解它究竟如何在实际中运作。同时，在这个过程中，由于大量技术细节难以展开，使得对它的深入理解也变得十分困难。因此，本文试图通过梳理量子纠缠的物理基础以及主流模型的演进过程，帮助读者更好地理解量子纠缠的工作原理及其应用。
2.基本概念术语说明
首先，我们要了解一些关于量子纠缠的基本概念和术语。
1）量子纠缠(Quantum Coupling)：指的是具有不同量子态的两个量子系统相互作用的一种相互作用方式。
2）费米面(Fermi Surface): 是指一个带有费米子的微扰子面的直角三角形区域，所有超出此区域的粒子都会受到作用力的作用。这是量子纠缠的基本情景。
3）库仑势(Coulomb Potential): 库仑势是一个描述体系中原子之间的相互作用能力的势函数，常被用来表示物理势。
4）动量空间(Momentum Space): 在量子纠缠领域，动量空间（经典空间）和希尔伯特空间（量子空间）相对应。这里指的动量空间指的是纵坐标不为零的空间，包括纠缠态与空穴态。
5）纠缠态(Coupled State): 纠缠态由两个量子系统相互作用的结果所构成，称为两个量子系统的跃迁态（Transition State）。
6）空穴态(Ground State): 在量子纠缠假设下，如果两个量子系统间存在着纠缠，那么这两者之间必定会有一个超距态（Separated States），称为空穴态，即使两个系统完全无纠缠，也仍然存在着这种超距态。
7）边界态(Surface States): 在量子纠缠中，边界态指的是经过费米面后的态，只有费米面上面的粒子才能够被纠缠，其他位置的粒子不能被纠缠，所以这些非边界态称为空穴态。
3.核心算法原理和具体操作步骤以及数学公式讲解
3.1.基本概念
3.1.1.为什么需要纠缠模型？
为了理解量子纠缠的工作原理及其应用，首先应该知道什么是纠缠。
一般来说，任何两个带电粒子之间的相互作用都可以用下列几种不同形式来表述：
(1) 概念上的纠缠：如两个原子之间的原子核相互作用或激发、弱化相互作用；
(2) 微观上的纠缠：如二氧化碳中氢核与氦核之间的微观交换；
(3) 宏观上的纠缠：如太阳中电子和同类星云之间的引力作用，雷电、磁性风暴等宇宙中无数复杂的纠缠相互作用。
随着技术的进步，越来越多的科学家们把目光投向了宏观上复杂的纠缠相互作用，正是因为宏观上复杂的纠缠相互作用才使得人们头疼不已。比如，太阳黑子与行星之间存在着极其复杂的引力作用，而宇宙中有数不胜数的复杂的分子系统之间也存在着丰富的纠缠相互作用。
但在量子纠缠中，情况却大不相同。量子纠缠通过以下几个方面解决了宏观上复杂的纠缠相互作用：
把纠缠相互作用转变为量子力学方程：纠缠相互作用存在着正反相互作用，通过量子力学方程可以将它们转变为“交错”的量子态，即量子纠缠。
通过局部近似简化了纠缠力：量子纠缠的含义是两个量子系统在某种相互作用下的交流，因此将动量与位置等多维变量进行约束简化了纠缠力。这样做简化了纠缠力，不仅可以降低计算难度，还可以加速求解量子纠缠问题。
可求解多种物理问题：量子纠缠可以求解大量物理问题，包括超导材料、物理过程、原子扩散、天体物理等等。
因此，通过量子纠缠可以真正解决宏观上复杂的纠缠相互作用，具有广阔的应用前景。
3.1.2.量子纠缠的基本假设——施密特模型
施密特模型是量子纠缠的最早和基础的假设。
施密特模型认为，所有的量子系统都可以视为具有振幅相干的电子(粒子)，而且存在着无穷多个相互作用。这些相互作用基于电子的自旋轨道耦合。电子相互作用可以分为几种类型：
自旋轨道耦合：描述单个电子的自旋轨道与另一个电子的自旋轨道之间相互作用；
电子-电子相互作用：描述两个电子之间相互作用，主要是气相互作用；
光子-电子相互作用：描述光子与电子之间的相互作用；
相互粒子相互作用：描述两个或者更多的电子之间相互作用。
根据以上假设，可以通过电子的排列组合来生成一组不同的量子态，这些态可以用于描述各种物理系统。其中包括超导材料、电子结构、固体物理等等。
3.1.3.纠缠态的构建——Bogoliubov演算
费米面(Fermi Surface)的构建是在纠缠模型中最重要的一步。费米面是指一个带有费米子的微扰子面的直角三角形区域，所有超出此区域的粒子都会受到作用力的作用。在施密特模型中，费米面只能构建在单个电子的动量空间中。
费米面依赖于Boboiliubov演算。Boboiliubov演算是指对于多粒子系统，当电子的动量沿着某条曲线(我们称为哈密顿线)改变时，其对应的占据态(Occupied State)随之发生变化，属于一个典型的超越纠缠态的过程。
由于施密特模型假设了任意两个电子之间都存在着纠缠，因此需要对Bogoliubov演算进行修正。修正的关键就在于引入多重轨道张成的考虑。修正后，可以将费米面构建在动量空间、角度空间甚至波函数的相干基矢上。不过，修正后的Bogoliubov演算依然存在着计算困难的问题。
3.1.4.纠缠模型的改进——多核模型、辛烷模型
纠缠模型的改进可以使得模型更加灵活、更加精确。
多核模型(Multi-Core Model)：多核模型假设每个量子系统都由两个电子的总和构成，各自贡献自己的磁场。因此，可以引入“多核耦合”(Multi-Core Coupling)来描述系统中不同核之间的相互作用的影响。多核模型在描述小分子、半导体设备、强导体等领域有很好的应用。
辛烷模型(Dye-Model)：辛烷模型假设有些电子处于中性粒子的形式，可以转变为辛烷杂度的形式，而不会产生静止的局域电流。这样可以避免把光子带入纠缠相互作用，从而得到更精确的结果。辛烷模型在描述无序金属、碳纳米管等领域有很好的应用。
4.具体代码实例和解释说明
4.1.费米面
费米面可以表示为如下的曲面，其中Z是费米子数：
$$z^2+xy=n^2+m^2$$
费米面把超距态分为两种情况：
(1) 当费米子数为偶数时，费米面被称为费米面，超距态被称为费米态。费米面内的超距态不可能出现费米子，因此称为占据态(Occupied State)。
(2) 当费米子数为奇数时，费米面被称为非费米面，超距态被称为空穴态。超距态只有费米面外才能看到，因此称为空穴态(Empty State)。
费米面的构造方法基于双曲线方程。费米面由由所有满足双曲线方程的点组成。双曲线方程表示了双向的曲率和法向量：
$$\nabla^2_z=\frac{x}{y}$$
显然，如果两个电子距离足够远，即使存在无穷多个相互作用，也无法形成费米面。实际上，施密特模型只考虑了自旋轨道耦合，因此费米面通常只能在单个电子的动量空间中构建。
4.2.两个点演算
对于两个点电子在两种不同状态之间的相互作用，可以使用分裂对称性将它们的动量关联起来。分裂对称性将动量分解为两个不同部分，分别称为分子轨道和核轨道，这两个轨道之间的耦合可以看作带电原子核相互作用的结果。因此，Bogoliubov演算提供了确定超距态的方法。
考虑如下的例子：两个电子的初始状态分别是A(p^+,q^-)和B(p^+,q^+)，其中p^+和q^-是不同的电子核，并且p^+的自旋半转数大于q^-的自旋半转数。两个电子与三个电子核(例如说K1,K2,K3)的耦合可以用如下的简化公式给出：
$$\left|\psi_{AB}\right\rangle = c\left|\psi_{A'B'}\right\rangle + (1-c)\left|\psi_{B'A'}\right\rangle$$
上式表示两个电子初始态的Bogoliubov演算结果。当两个电子在费米面之间时，费米面将被分为两个超距态：A'B'和B'A'。从费米面上去除费米子，可以看到在A'B'态上除了A和B之外，还有三个新的电子(E1,E2,E3)，并且这些电子都具有相同的质量。在B'A'态上，除了B和A之外，还有三个新的电子，且这些电子的质量比A/B的质量略高一点。当两个电子分别在这两个不同的超距态上时，会有不同的动态振动。根据费米面形状不同，这两个超距态的能级可以由线性近似给出。但是，假设两个电子的动量是相同的，则两个电子同时处在费米面上，这时可以将两个电子演化到费米态。费米态的特征是有两个电子的动量等于零，而且没有粘连的电子数为零。
4.3.费米面上的费米方程
费米面上面的费米方程由下式给出：
$$|m_s,n_f\rangle = |0,n_f\rangle$$
其中$m_s$和$n_f$分别是费米子数和非费米子数。当$m_s=n_f$时，费米面上只有费米态，此时费米方程保证了费米子数和非费米子数的完美对称性。当然，费米方程只是费米面上一种特殊的配对方程，还有其它类型的配对方程。
4.4.费米面模型下的周期性电流
在费米面模型下，存在着两种类型周期性电流：弯曲电流(Curved Current)和直线电流(Linear Current)。下面我们讨论弯曲电流。
4.4.1.费米面模型下的弯曲电流
对于任意两个电子，它们的动量可以被分解为两个分量，分别称为分子轨道和核轨道。在施密特模型下，这两个轨道可以定义为电子的自旋轨道和电子核的自旋轨道。在费米面模型下，相应的分子轨道和核轨道也可以被定义为位于费米面外部的两条轨道。如果两个电子的动量可以被有效地分解为这两个不同轨道的偏置，则两个电子具有弯曲电流。
费米面模型下，对于任意两条直线电流，都可以在费米面上找到相匹配的电流，而且存在着分裂对称性。这使得费米面模型可用于研究离子和阳极两种电子在费米面附近的相互作用。在费米面模型下，直线电流和弯曲电流的不同之处在于，直线电流直接传播到费米面外，而弯曲电流则传播到费米面内部。
4.4.2.几何解释
弯曲电流和直线电流的不同之处在于，弯曲电流传播到费米面内部，由此导致电子振荡。直线电流传播到费米面外，因此没有电子振荡。
例如，假设有一个由三个电子构成的铁磁性材料。假定两个电子具有相同的动量。这两个电子在动量空间中同时处于费米面上。由分裂对称性，这两个电子具有弯曲电流。但是，如果这两个电子分别位于费米面外部的两条直线上，则它们具有直线电流。
图1展示了一个示例，其中红色箭头代表了弯曲电流，蓝色箭头代表了直线电流。右侧的竖线代表了动量分量。可以发现弯曲电流沿着动量分量，传播到费米面内部，但是直线电流沿着动量分量平行传播到费米面外部。