假设检验（二）（正态总体参数的假设检验）

在作假设检验时，若检验统计量服从正态分布，则称该检验为 $u$ 检验；若检验统计量服从 ${\chi }^2$ 分布、$t$ 分布或 $F$ 分布，则相应的检验称为 ${\chi }^2$ 检验、$t$ 检验或 $F$ 检验。

一个正态总体的情形

设已给定水平 $\alpha$，并设 $X_1,...,X_n$ 为正态总体 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的样本，$\bar{X}$ 和 $S^{\ast 2}$ 分别为样本均值和修正样本方差。

总体均值 $\mu$ 的检验

欲检验假设 $$H_0:\mu ={\mu }_0\leftrightarrow H_1:\mu \ne {\mu }_0$$ 这里 ${\mu }_0$ 是一个已知数。下面分总体方差 ${\sigma }^2$ 为已知和未知两种情形进行讨论。

(1) 方差 ${\sigma }^2$ 已知 —— $u$ 检验

用 ${\sigma }_0^2$ 表示这一已知的总体方差。$\bar{X}$ 是 $\mu$ 的最优无偏估计，如果 $H_0$ 成立，那么 $\bar{X}$ 与 ${\mu }_0$ 应当很靠近，即 $|\bar{X}-{\mu }_0|$ 过分偏大将不利于 $H_0$。故 $H_0$ 的拒绝域应取 $|\bar{X}-{\mu }_0|\ge c_0$ 的形式。构造如下检验统计量：$$U=\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-{\mu }_0)}{{\sigma }_0}\sim N(0,1)$$ 则 $H_0$ 的拒绝域应取 W = { ∣ X ˉ − μ 0 ∣ ≥ c 0 } = { ∣ U ∣ ≥ n c 0 σ 0 } W=\{|\bar{X}-\mu_0| \ge c_0\}=\left\{ |U| \ge \frac{\sqrt{n}c_0}{\sigma_0}\right\} W={ ∣Xˉ−μ0​∣≥c0​}={ ∣U∣≥σ0​n ​c0​​} 对给定的水平 $\alpha$，查 $N(0,1)$ 分布表，得 $u_{\alpha /2}$，使得 P { ∣ U ∣ ≥ u α / 2 } = α P\{|U| \ge u_{\alpha/2}\}=\alpha P{ ∣U∣≥uα/2​}=α，故 $H_0$ 的拒绝域为 W = { ∣ U ∣ ≥ u α / 2 } W=\{|U| \ge u_{\alpha/2}\} W={ ∣U∣≥uα/2​} 由一次抽样所得的样本值 $(x_1,...,x_n{)}^T$ 算出 $U$ 的观察值 $u=\frac{\sqrt{n}(\bar{x}-{\mu }_0)}{{\sigma }_0}$，

• 若 $|u|\ge u_{\alpha /2}$，则拒绝原假设 $H_0$；
• 若 $|u|<u_{\alpha /2}$，则接受原假设 $H_0$；

(2) 方差 ${\sigma }^2$ 未知 —— $t$ 检验

选取 $$T=\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-{\mu }_0)}{S^{\ast }}\sim t(n-1)$$ 作为检验统计量。在 $H_0$ 成立条件下，$|T|$ 过分偏大将不利于 $H_0$，故 $H_0$ 的拒绝域应取 W = { ∣ T ∣ ≥ k 0 } W=\{|T| \ge k_0\} W={ ∣T∣≥k0​} 的形式。对给定的水平 $\alpha$，查 $t(n-1)$ 分布表，得 $k=t_{\alpha /2}(n-1)$，使得 P { ∣ T ∣ ≥ t α / 2 ( n − 1 ) } = α P\{|T| \ge t_{\alpha/2}(n-1)\}=\alpha P{ ∣T∣≥tα/2​(n−1)}=α，故 $H_0$ 的拒绝域为 W = { ∣ T ∣ ≥ t α / 2 ( n − 1 ) } W=\{|T| \ge t_{\alpha/2}(n-1)\} W={ ∣T∣≥tα/2​(n−1)} 由一次抽样所得的样本值 $(x_1,...,x_n{)}^T$ 算出 $T$ 的观察值 $t=\frac{\sqrt{n}(\bar{x}-{\mu }_0)}{s^{\ast }}$，

• 若 $|t|\ge t_{\alpha /2}(n-1)$，则拒绝原假设 $H_0$；
• 若 $|t|<t_{\alpha /2}(n-1)$，则接受原假设 $H_0$；

总体方差 ${\sigma }^2$ 的检验——${\chi }^2$ 检验

欲检验假设 $$H_0:{\sigma }^2={\sigma }_0^2\leftrightarrow H_1:{\sigma }^2\ne {\sigma }_0^2$$ 这里 ${\sigma }_0^2$ 是一个已知数。下面只讨论 $\mu$ 未知的情形。

选取 $${\chi }^2=\frac{(n-1)S^{\ast 2}}{{\sigma }_0^2}\sim {\chi }^2(n-1)$$ 作为检验统计量，由于 $S^{\ast 2}$ 是 ${\sigma }^2$ 的无偏估计，当 $H_0$ 成立时，$\frac{(n-1)S^{\ast 2}}{{\sigma }_0^2}$ 应在 $n-1$ 附件，${\chi }^2$ 过分偏小或过分偏大将不利于 $H_0$，因此 $H_0$ 的拒绝域应取 W = { χ 2 ≤ k 1 ⋃ χ 2 ≥ k 2 } W=\{\chi^2 \le k_1 \bigcup \chi^2 \ge k_2\} W={ χ2≤k1​⋃χ2≥k2​} 的形式。对给定的水平 $\alpha$，查 ${\chi }^2(n-1)$ 分布表，得 $k_1={\chi }_{1-\alpha /2}^2(n-1),k_2={\chi }_{\alpha /2}^2(n-1)$，故 $H_0$ 的拒绝域为 W = { χ 2 ≤ χ 1 − α / 2 2 ( n − 1 ) ⋃ χ 2 ≥ χ α / 2 2 ( n − 1 ) } W=\{\chi^2 \le \chi^2_{1-\alpha/2}(n-1) \bigcup \chi^2 \ge \chi^2_{\alpha/2}(n-1)\} W={ χ2≤χ1−α/22​(n−1)⋃χ2≥χα/22​(n−1)} 由一次抽样所得的样本值 $(x_1,...,x_n{)}^T$ 算出 ${\chi }^2$ 的观察值 ${\chi }^2=\frac{(n-1)s^{\ast 2}}{{\sigma }_0^2}$，

• 若 ${\chi }^2\le {\chi }_{1-\alpha /2}^2(n-1)$ 或者 ${\chi }^2\ge {\chi }_{\alpha /2}^2(n-1)$，则拒绝原假设 $H_0$；
• 否则接受原假设 $H_0$；

两个正态总体的情形

设已给定显著水平 $\alpha$，$(X_1,...,X_{n_1}{)}^T$，$(Y_1,...,Y_{n_2}{)}^T$ 分别为来自正态总体 $X\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$ 和 $Y\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$ 的样本，且假定两样本相互独立。记 $\bar{X},\bar{Y}$ 为两样本各自的样本均值，$S_{1n_1}^{\ast 2},S_{2n_2}^{\ast 2}$ 为两样本各自的修正方差。

两总体均值差的检验——$t$ 检验

欲检验假设 $$H_0:{\mu }_1-{\mu }_2=c\leftrightarrow H_1:{\mu }_1-{\mu }_2\ne c$$ 只讨论 ${\sigma }_1^2$ 和 ${\sigma }_2^2$ 未知且相等的情形，并记 ${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2={\sigma }^2$。

选取 $$T=\frac{\bar{X}-\bar{Y}-c}{S_w\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\sim t(n_1+n_2-2)$$ 作为检验统计量，其中 $$S_w=\sqrt{\frac{(n_1-1)S_{1n_1}^{\ast 2}+(n_2-1)S_{2n_2}^{\ast 2}}{n_1+n_2-2}}$$ 由于 $\bar{X}-\bar{Y}$ 是 ${\mu }_1-{\mu }_2$ 的无偏估计，当 $H_0$ 成立时，$\bar{X}-\bar{Y}$ 应当与 $c$ 靠近，即 $|T|$ 过分偏大将不利于 $H_0$，因此 $H_0$ 的拒绝域应取 W = { ∣ T ∣ ≥ k } W=\{|T| \ge k\} W={ ∣T∣≥k} 的形式。对给定的水平 $\alpha$，查 $t(n_1+n_2-2)$ 分布表，得 $k=t_{\alpha /2}(n_1+n_2-2)$，故 $H_0$ 的拒绝域为 W = { ∣ T ∣ ≥ t α / 2 ( n 1 + n 2 − 2 ) } W=\{|T| \ge t_{\alpha/2}(n_1+n_2-2)\} W={ ∣T∣≥tα/2​(n1​+n2​−2)} 由一次抽样所得的样本值 $(x_1,...,x_{n_1}{)}^T$ 和 $(y_1,...,y_{n_2}{)}^T$ 算出 $T$ 的观察值 $t=\frac{\bar{x}-\bar{y}-c}{s_w\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}$，

• 若 $|t|\ge t_{\alpha /2}(n_1+n_2-2)$，则拒绝 $H_0$；
• 否则，接受 $H_0$。

关于均值差的假设检验，比较常见的是 $c=0$ 的情形，此时假设等价于 $$H_0:{\mu }_1={\mu }_2\leftrightarrow H_1:{\mu }_1\ne {\mu }_2$$

两总体方差比的检验——$F$ 检验

欲检验假设 $$H_0:{\sigma }_1^2/{\sigma }_2^2=c\leftrightarrow H_1:{\sigma }_1^2/{\sigma }_2^2\ne c$$ 下面只讨论 ${\mu }_1,{\mu }_2$ 未知的情形。

选取$$F=\frac{S_{1n_1}^{\ast 2}}{c{S}_{2n_2}^{\ast 2}}\sim F(n_1-1,n_2-1)$$ 作为检验统计量。由于 $E(F)=\frac{n_2}{n_2-2}$，因而当 $H_0$ 成立时，$F$ 的取值应集中在 $n_2/(n_2-2)$ 附近，即 $F$ 过分偏小或过分偏大将不利于 $H_0$，故 $H_0$ 的拒绝域应取 W = { F ≤ k 1 ⋃ F ≥ k 2 } W=\{F \le k_1 \bigcup F \ge k_2\} W={ F≤k1​⋃F≥k2​} 的形式。对给定的水平 $\alpha$，查 $F(n_1-1,n_2-1)$ 分布表，得 $k_1=F_{1-\alpha /2}(n_1-1,n_2-1),k_2=F_{\alpha /2}(n_1-1,n_2-1)$，故 $H_0$ 的拒绝域为 W = { F ≤ F 1 − α / 2 ( n 1 − 1 , n 2 − 1 ) ⋃ F ≥ F α / 2 ( n 1 − 1 , n 2 − 1 ) } W=\{F \le F_{1-\alpha/2}(n_1-1,n_2-1) \bigcup F \ge F_{\alpha/2}(n_1-1,n_2-1)\} W={ F≤F1−α/2​(n1​−1,n2​−1)⋃F≥Fα/2​(n1​−1,n2​−1)} 由一次抽样所得的样本值 $(x_1,...,x_{n_1}{)}^T$ 和 $(y_1,...,y_{n_2}{)}^T$ 算出 $F$ 的观察值 $F=\frac{s_{1n_1}^{\ast 2}}{c{s}_{2n_2}^{\ast 2}}$，

• 若 $F\le F_{1-\alpha /2}(n_1-1,n_2-1)$ 或 $F\ge F_{\alpha /2}(n_1-1,n_2-1)$，则拒绝 $H_0$；
• 否则，接受 $H_0$。

关于两总体方差比的检验，比较常见的是 $c=1$ 的情形，此时，假设等价于$$H_0:{\sigma }_1^2={\sigma }_2^2\leftrightarrow H_1:{\sigma }_1^2\ne {\sigma }_2^2$$

参考文献

[1] 《应用数理统计》，施雨，西安交通大学出版社。