【数据结构】——树和二叉树简答题模板

一、树和二叉树的概念

（一）二叉树的定义和性质

1、简要说明二叉树的概念。二叉树有哪些性质。（至少写出3个）

答：二叉树是一种树形结构，每个结点至多只有两棵子树，即二叉树中不存在度大于2的结点，且二叉树的子树也有左右之分。
性质：
①非空二叉树的叶子结点等于度为2的结点数加1，即n₀=n₂+1；
②高度为h的二叉树至多有2^h-1个结点；
③一棵树高为h的完全二叉树至少有2^h-1个结点，至多有2^h-1个结点，
④一棵树高为h的完全二叉树中，总结点数N与高h的关系是h=⌈log₂(n+1)⌉；
⑤对于一棵含有n个结点的二叉树，当它为完全二叉树时，具有最小高度，最小高度为h=⌈log2(n+1)⌉或⌊log2n⌋+1；当它为一棵单支树时具有最大高度，为一个线性表，即最大高度为n。

（二）树和二叉树的区别

1、树和二叉树的区别是什么？

答：树和二叉树均有且只有一个根结点，根结点没有前驱结点，除了根结点其他所有结点都只有一个前驱结点，剩下的结点为m(m≥0)个互不相交的非空集合。树中结点的后继结点可以是任意多个，而二叉树中结点的后继结点最多只能有两个，即二叉树的度小于等于2。

二、完全二叉树和满二叉树

1、什么是完全二叉树？什么是满二叉树？它们两者之间的关系是怎么样的？

答：深度（高度）为h，具有2^h-1个结点的二叉树，其中每层结点都是满的二叉树，称为满二叉树，而若一棵树中除最后一层外，其余层的结点都是满的或结点的右子树缺少连续的若干个结点 ，则称为完全二叉树。满二叉树是完全二叉树的特例，可以说，若一棵树是满二叉树，则它必是完全二叉树，但不能说一个完全二叉树必是满二叉树。

三、二叉树的遍历

（一）由序列确定二叉树

1、由二叉树先序遍历和后序遍历序列能否唯一确定一棵二叉树？请举例解释。

答：不能。例如，下面两个二叉树的前序序列和后序序列均相同，但是不是相同的二叉树。

2、简述为什么二叉树的中序遍历序列与其前序或后序遍历序列可以唯一确定一棵二叉树。

答：二叉树的中序遍历序列中，由“左中右”的遍历关系以及根结点可以确认二叉树的左右子树，同时由二叉树的前序或后序遍历序列再确定结点中的父子关系，从而结合可以唯一确定一棵二叉树。

（二）不同遍历序列的关系

1、试分析非空二叉树在什么情况下，其前序遍历序列与后序遍历序列相同以及前序遍历序列与后序遍历序列相反？

答：若一棵二叉树为空树或只有根结点，则其前序遍历序列和后序遍历序列相同。若一棵非空的二叉树只有一个叶子结点或二叉树的高度等于结点个数，则其前序遍历序列和后序遍历序列相反。

四、二叉树的性质

（一）二叉树结点度的关系

1、证明任意一棵二叉树中，若叶子结点的个数为n₀，度为2的结点个数为n₂，则必用n₀=n₂+1。

答：设二叉树中度为1的结点个数为n₁，由于二叉树中所有结点的度均小于等于2，所以总结点个数为N=n₀+n₁+n₂，另外，二叉树中除了根结点外，其他结点至少有一个分支，度为1的结点有一个分支，度为2的结点有两个分支，则分支总数=N-1=n₁+2n₂，联立两式，可得n₀=n₂+1。

（三）二叉树的最小与最大深度（高度）

1、具有n个结点的二叉树，什么时候下其深度达到最大？什么情况下其深度达到最小？

答：单支树时，二叉树的深度最大，最大为n层；若深度为h，结点个数满足2^h+1-1时，即为满二叉树时，二叉树的深度最小。

五、二叉树与树的存储结构

（一）二叉树的顺序存储结构

1、简述二叉树的顺序存储结构以及其优缺点。

答：二叉树的顺序存储结构是通过使用一组地址连续的存储单元数组进行存储，优点是读取指定结点时，可以直接通过数组下标访问，效率高，且可以很快地查找到左右孩子以及双亲结点，但缺点是存在浪费空间的情况，一个高度（深度）为h的非完全二叉树需要占据2^h-1个数组存储单元。

（二）树的三种存储结构

1、介绍树的三种存储方式。

答：①双亲表示法：对于每个结点，只存储它的双亲结点的位置，即通过一个一维数组分别存储结点的数据域和存储该结点双亲的数组下标。通过双亲表示法中可以很容易地找到每个结点的双亲和祖先结点，但是若要寻找结点的孩子结点或兄弟结点时就较为麻烦，需遍历整个数组，效率较低；
其中每个结点被赋予一个结构体类型，包含data域和parent域，分别存储结点的数据域和存储该结点双亲的数组下标。

②孩子表示法：对于每个结点，只存储它的第一个孩子结点的位置和下一个兄弟结点的位置。通过孩子链表表示法可以很容易地找到该结点的孩子结点，但是若要找到结点的双亲则较为麻烦，需遍历n个结点中孩子链表指针域所指向的n个孩子链表；

③孩子兄弟表示法：对于每个结点，只存储它的第一个孩子结点的位置和它的下一个兄弟结点的位置。这种方法查找一个节点的所有孩子节点和所有祖先节点的效率都很高，同时查找一个节点的所有兄弟节点的效率也很高，但缺点是若从当前结点查找其双亲结点时较为麻烦。

六、树、森林与二叉树的转化

1、将树、森林转化为二叉树的最终目的是什么？

答：①简化操作，在二叉树中，只需要考虑每个节点的左右子节点，这使得操作如搜索、插入、删除等更为简单，而对于具有多个子节点的树或森林，通过转化为二叉树可以减少复杂性；

②方便使用二叉树算法，转化后可以通过高效很多有效的二叉树算法，如二叉搜索树的搜索、插入、删除等操作，可以很容易地应用于转化后的二叉树，而树和森林复杂；

③统一存储，将树、森林转化为二叉树后，可以实现统一存储，即可以利用二叉树的各种优点来简化操作并提高效率，例如能够以递归的方式对数据进行组织等等。

七、线索二叉树

1、线索二叉树的作用是什么？

答：由于在含有n个结点的二叉树中，有n+1个空指针。对于叶子结点，它有两个空指针，对于度为1的结点，只有一个空指针。将这些空指针利用起来，让其存放指向该结点的前驱或后继信息，从而使遍历二叉树更加简便，加快查找结点的前驱或后继的速度。同时，也能节省内存开销。

八、前缀编码

1、什么是前缀编码？哈夫曼编码是前缀编码吗？简述其作用。

答：在对字符集进行编码时，若字符集中任一字符的编码都不是其它字符的编码的前缀，则称这种编码为前缀编码。哈夫曼编码是一种无前缀编码，通过可变长度编码使用不等长的二进制信息进行编码，使字符的平均编码长度缩短，从而更好地压缩数据进行传输。

九、哈夫曼树

（一）哈夫曼树的定义

1、什么是哈夫曼树？若哈夫曼树有n个叶子结点，则其结点总数是多少？

答：哈夫曼树是一棵最优二叉树，给定n个带有权值的叶子结点，构造一棵二叉树，使构造的二叉树的带权路径长度最小，即为最优二叉树，也称为哈夫曼树。若哈夫曼树有n个叶子结点，由于哈夫曼树中只有度为0和2的结点，不存在度为1的结点，则其结点总数为N=2n-1。

（二）哈夫曼树的构建步骤

1、写出构建哈夫曼树的哈夫曼算法思想。

答：基于给定的n个带权值的结点构成的初始森林，首先，选出两棵权值最小的树作为左右子树相加，得出的权值之和是一个新根结点的权值，然后，将新结点插入到森林中，同时将左右子树从森林中删除，重复选取，直到森林中只有一棵树时，即为哈夫曼树。

（三）哈夫曼编码

1、哈夫曼编码是什么？

答：哈夫曼编码是一种可变长度编码，且是无前缀编码，它根据字符出现的概率来对每个字符设定二进制编码，规定一个编码不能是其它编码的前缀，主要应用在数据压缩、加密解密等场景。

十、二叉排序树

1、简述二叉排序树。

答：二叉排序树也称为二叉查找树或二叉搜索树，其中各结点值的大小关系是：左子树<根结点<右子树，且左、右子树也是一棵二叉排序树满足其条件，若对该树进行中序遍历，可得到一个递增的序列。