算法分析与设计——分治策略求逆序对（归并排序）

1、算法讲解

• 利用分治策略求逆序对主要是利用归并排序，即合并两个有序数组。
• 假设有两个有序的数组，我们对其进行归并排序。
  • 
• 从两数组开头开始比较。
  • 
• 由于2>1，1先入队，并且知道1比前面数组的所有元素都小（数组有序），所以记录逆序个数=4。
  • 
• 继续比较2和4，由于2<4，2先入队，并且2比后面数组的所有元素都小，所以没有逆序对。
  • 
• 继续比较3和4，由于3<4，3先入队，并且3比后面数组的所有元素都小，所以没有逆序对。
• 继续比较5和4，由于5>4，4先入队，并且知道4比前面数组的所有元素都小（数组有序），所以记录逆序个数=4+2。
  • 
• 继续比较5和6，由于5<6，5先入队，并且5比后面数组的所有元素都小，所以没有逆序对。
  • 
• 继续比较7和6，由于7>6，6先入队，并且知道6比前面数组的所有元素都小（数组有序），所以记录逆序个数=4+2+1。
  • 
• 继续比较7和8，由于7<8，7先入队，并且7比后面数组的所有元素都小，所以没有逆序对。
  • 
• 此时前面数组的所有元素都已合并，最后把8合并即可。最后计算出逆序对个数为7。
• 上述算法的前提是两个子数组是有序的，那如何将上述算法的思想运用到普通的数组中呢？
• 可以先将数组进行拆分，单个元素的数组一定是有序的。
  • 
• 然后再依次合并两个有序数组，并且在合并的过程中计算逆序对的个数。
  • 
  • 
  • 
  • 最后的逆序对个数=1+1+1+1+4+4+16=28。
• 这就是分治的思想。

2、实例

• 采用分治策略完成下述数组的逆序对计数：[12, 14, 53, 8, 74, 23, 17, 66, 70, 9, 34, 75, 90, 34, 98, 50, 86, 94, 3, 67, 73, 79, 43, 66, 19, 20, 57,43, 28, 83]
• python代码： 

  • # 计算逆序对
    def reverser_pairs(nums):
        length = len(nums)
        if length < 2:  # 数组只有一个元素，没有逆序对
            return 0
        copy = nums.copy()  # 需要对数组进行排序，故拷贝原数组
        temp = []  # 辅助数组
        return count_pairs(copy, 0, length - 1, temp)  # 递归计算逆序对
    
    
    #  划分数组，归并排序，计算逆序对个数
    def count_pairs(nums, left, right, temp):
        if left == right:  # 划分到只剩一个元素
            return 0
        mid = left + (right - left) // 2  # 与(left+right)/2效果一致，防止溢出，向下取整
        # 划分数组，记录每个子数组的逆序对
        left_pairs = count_pairs(nums, left, mid, temp)
        right_pairs = count_pairs(nums, mid + 1, right, temp)
        # 前面数组已经小于后边数组
        if nums[mid] <= nums[mid + 1]:
            return left_pairs + right_pairs
        # 对子区间内的元素进行归并排序并计算逆序对个数
        cross_pairs = merge_and_count(nums, left, mid, right, temp)
        return left_pairs + right_pairs + cross_pairs  # 累加
    
    
    # 归并排序，计算逆序对个数
    def merge_and_count(nums, left, mid, right, temp):
        temp = nums[left:right + 1].copy()  # 将区间元素复制出来进行归并排序
        i = left
        j = mid + 1
        count = 0
        for k in range(left, right + 1):
            if i == mid + 1:  # 前面数组都已入队，将后面数组全部入队
                nums[k] = temp[j - left]
                j += 1
            elif j == right + 1:  # 后面数组都已入队，将前面数组全部入队
                nums[k] = temp[i - left]
                i += 1
            elif temp[i - left] <= temp[j - left]:
                nums[k] = temp[i - left]
                i += 1
            else:
                nums[k] = temp[j - left]
                j += 1
                count += mid - i + 1  # 小于前面所有的元素
        return count
    
    
    if __name__ == '__main__':
        nums = input("请输入整数数组，用空格分隔： ")
        nums = [int(i) for i in nums.split(' ')]  # 将每个数转换为整型后输出
        print("该数组的逆序对个数为：", reverser_pairs(nums))

• 运行结果：
  • 输入：12 14 53 8 74 23 17 66 70 9 34 75 90 34 98 50 86 94 3 67 73 79 43 66 19 20 57 43 28 83
  •