一些密码学数学基础

主要是一些数论和近世代数的内容，实在是太抽象了，这里把一些课本上的定理，还有网络的参考资料记录下，方便自己以后回顾~
课本《编码理论基础》 陈鲁生和《信息安全数学基础》陈恭亮

数论

四、二次同余和平方剩余

二次同余式的一般形式：

二次剩余

定义

讨论模为素数$p$的二次同余式: $x^2\equiv a(modp),（a,p）=1$ (1)：

平方剩余的推论：

定义勒让德符号来判断整数a是否是模奇数p的二次剩余:

欧拉判别法则：
关于勒让德符号的一些性质：

这些性质一般用于计算勒让德符号 下面同样是一些计算勒让德符号的性质和定理;


二次互反律

注意p，q是互素的奇素数，如果不是可以用上面的性质进行拆分
将勒让德符号中定义的模p拓展到一般情况 模 m 就可以用雅可比符号进行判定。

雅可比符号的一些性质：

用于计算的重要引理定理：

五、原根与指标

讨论关于$a^n\equiv 1(modm)$ 的问题
定义 $or{d}_m（a）：$

阶是满足 4.1 的最小正整数 ，只有当阶是$\phi (m)$时候 才能称a 是模$m$的原根

即n一定要是$or{d}_m（a）$的倍数 才能使得式子成立。

因为欧拉定理，$a^{\phi (m)}\equiv 1（modm）$ 所以在计算$or{d}_m（a）$时候 可以在 $\phi (m)$的因式中找。

关于(ii) :

可以用于简化计算 例如：

首先计算$or{d}_m（a）$的值 ，找出与大指数23456 mod $or{d}_m（a）$ 相同的值 那么 大指数转换为小指数

推论：



将$\phi (m)进行标准的因式分解，然后判断$

抽象代数

群

半群

半群的定义： 满足运算的结合律 ，这里的运算需要抽象的去理解

半群满足交换律的叫做可交换半群：

幺元： 存在 $e\in S$对任意$a\in S$ 都有$a\ast e=e\ast a=a$

群

群相对于半群的区别： 带幺半群+单位元e+每个元素存在逆元

定理：逆元存在且唯一

子群:

定理：一个群的子群的单位元也是该群的单位元，在子群中的逆元也是在该群中的逆元。

判断子群的必要条件：

群元素的阶

存在使得$a^n=e$成立的n 称为 元素a的阶 如果不存在 那么称群元素a的阶是无限的。
群元素阶的性质:

群的同构

对于同构映射的两个群，如果e是一个群的单位元，那么$f(e)$是另外一个群的单位元，且存在$f(a^{-1})=f(a{)}^{-1}$
对于两个形式上不同的群，如果他们是同构的，那么我们就看也抽象的将他们看成本质上相同的群，所不同的只是所用的符号不同而已。

循环群 *

循环群$G$有一个生成元a,且这个生成元的阶是n 即有$a^n=e$,这个群$G$的阶是n，有限阶的循环群的个数也是n：
$n=生成元的阶=群的阶=有限阶循环群的元素个数$
定理2.8 ：循环群的子群也是循环群
定理2.9 ：

理解： n的一个因数m，n阶循环群$G$的m阶循环子群存在且唯一。

陪集与商群

即取群$G$中的元素作为代表元，与子群$H$的所有元素进行群的运算形成的新的集合称为陪集。
定理2.10

推论2.2设 $<G,+>$是一个$p$有限小环群，如果$p$是素数，则 $<G,+>$是循环群.
素数阶的有限交换群是循环群.

环

环的定义

环是在集合上定义了两个运算+和* ，对于加法满足交换群，对于乘法满足半群。且乘法对加法满足左分配律和右分配律。
对于环如果存在乘法单位元，那么称环是带幺环。
定义：只含有有限个元素的环称为有限环

整环

如果一个环没有零因子那么这个环关于乘法的消去律成立，反之也成立
定义2.17 一个不含零因子的带幺交换环称为整环，整环满足乘法消去律。
子环：

理想

从一个环的子环中取一个元素，从该环中任取一个元素，做乘法运算仍然属于子环$I$，那么这个子环是该环的一个理想。
对于一个环 { R , + ， ∗ } \{R,+，*\} { R,+，∗} ,$0$和R是R的两个理想，称之为$R$的平凡理想，R的其他理想称为真理想

环的同构

如果两个形式上不同的环，如果它们是同构的，那么我们就可以抽象的将他们看成本质上相同的环。对于两个同构的环，所不同的只不过是它们相应元素的符号不同而已，本质上是相同的，同构的环可以看成是同一个环。

域

定义：只含有有限个元素的域称为有限域，有限域也成为Galois 域（Galois field） ，含有q个元素的有限域记为 $F_q$或者$GF(q)$
定理2.17：域一定是整环
定理2.18：有限整环一定是域

子域

域的特征

满足$ne=0$的最小正整数$n$为 域$F$的特征，e是乘法单位元，0是加法单位元。 若没有特征就是0 ，有理数域、实数域、复数域的特征都是0.
定理2.20：

有限域的特征一定为素数
定理2.21


推论：

域的同构

域的同构定义与环的同构定义完全一样，两个同构的域只不过是它们相应的符号不同而已，同构的域的本质是相同的，今后我们往往将同构的域堪称同一个域。
$定理2.23：设F和F‘是两个同构的域，则F和F^{\prime }的特征相同$ 同构的域特征相同
自同构映射: F到自身的同构映射
定理2.24

素域：

域上的多项式

关于域上多项式的定义：

关于域上多项式的乘法和加法的定义:

保证两个式子最高次项存在

在$F_2[x]上定义的多项式系数只能是0，1$

最高公因式和最低公倍式

不可约多项式

唯一因式分解定理

多项式的重因式
$f(x)的形式导数表示为f^{\prime }(x)$

多项式的形式导数满足的性质
没有重因式的充要条件：
$f(x)$与$f^{\prime }(x)$互素 即$gcd(f(x),f^{\prime }(x))=1$
余元定理

对于域F上根的充要条件:


分裂域

F是一个域，对F上的任意一个多项式$f(x)$都存在一个分裂域，并且$f(x)$的任意两个分裂域都是同构的。

多项式的理想与商环

有限域理论