【微观经济学】读书笔记之效用函数与支出函数

二、 效用函数与支出函数

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1. 间接效用函数

• 直接效用函数，即效用是消费计划的函数。其主要是给定价格向量 $p=(p_1,p_2,…,p_n)$ 与收入水平 $y$，消费者可以解出最优消费量 $x^*=(x_1^*,x_2^*,…,x_n^*)$ 。
• 间接效用函数，表达式如下，可以看出效用不是被表达为消费计划 $x$ 的函数，而只是价格$p$与收入的函数

$$(p,y)=max[ u(x)]$$

$$s.t. p∙x≤y$$

间接效用函数

为什么要讲间接效用函数？因为，有了间接效用函数，那么，控制消费行为实质上可以由控制价格 $p$ 与控制收入 $y$ 来实现。控制 $p$ ，实质就是价格政策或价格机制；控制 $y$ ，实质便是收入政策的内容。可见，间接效用函数的概念，有着明显的政策上的应用价值。

为什么两个税种会产生不同的负面作用？原因在于开征商品税（这里我们假设是对酒类开征商品税）会从两个方面改变消费者的选择：一是 $p_1$ 提高后减少了消费者的实际购买力（尽管名义收入 $y=2$ 仍然不变），二是改变了商品的相对价格。而开征所得税只会产生第一方面的影响，因而他的负面影响较小。——clear

文中举例说明开征所得税的影响。例子启发我们，虽然在不同的人的偏好序之间无法进行绝对量的计算，虽然不同的效用函数表达式之间的绝对量的计算没有什么经济意义，但是，对于同一种效用函数的数量表达，如果一种政策是效用的数值大一些，另一种政策会使同一效用函数的数值小一些，则从消费者福利的角度来说，前一种政策更为可取。
人们总喜欢举例说明，例子会使问题更清晰，善用举例说明。

支出函数

支出函数，表达式如下，支出函数追求最小开支，核心在于消费计划的选取

$$e(p,u)=min [ x⁡(p∙x)]$$

$$s.t. u(x)≥u$$

希克斯需求函数

马歇尔需求函数，是指给定价格与收入，消费者为了让效用最大而选择对 $x$ 的需求量。现在的问题是，当价格给定，为了满足一定的效用水平，又使所花的钱最省，消费者该如何确定对 $x$ 的需求量？这种需求叫希克斯需求。
值得一提的是，希克斯需求函数是完全不可观察的，是假定的需求函数，有时又称其为补偿性的需求函数。

预算份额

前两章使用最多的就是拉格朗日乘数（主要用于多元函数极值的求解），其表达式如下，

$$L=f(x,y,z)+λφ(x,y,z)$$
其性质如下：

在数学最优问题中，拉格朗日乘数法（以数学家约瑟夫•路易斯•拉格朗日命名）是一种寻找变量受一个或多个条件所限制的多元函数的极值的方法。这种方法将一个有n 个变量与k 个约束条件的最优化问题转换为一个有n + k个变量的方程组的极值问题，其变量不受任何约束。这种方法引入了一种新的标量未知数，即拉格朗日乘数：约束方程的梯度（gradient）的线性组合里每个向量的系数。此方法的证明牵涉到偏微分，全微分或链法，从而找到能让设出的隐函数的微分为零的未知数的值。 摘自百度百科——拉格朗日乘数法