矩阵 线性代数复习笔记

矩阵

1.矩阵定义

1.1 矩阵的定义

矩阵是由一组数按照矩形排列而成的数表。矩阵通常用大写字母表示，例如 AA、BB 等。矩阵中的每个数称为矩阵的元素或元。

一个 m×n的矩阵 AA 可以表示为：

$$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{1n}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ & & ⋮& \\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)$$
其中 aij表示矩阵 A中第i行第j列的元素。

1.2 矩阵的维度

矩阵的维度由它的行数和列数决定，记作 m×n，其中 m是行数，n 是列数，m不一定与n相等。例如，一个 3×2 的矩阵有 3 行和 2 列。
$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right)$$

1.3 矩阵和行列式的区别

	矩阵	行列式
符号	()或[]	| |
形状	方阵或非方阵	方阵
本质	数表	数
属性	A	|A|是A诸多属性中的一种

2 同型矩阵

设矩阵 AA 和 BB 分别为：
$$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{1n}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ & & ⋮& \\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cccc}{b}_{1n}& b_{12}& \dots & b_{1n}\\ b_{21}& b_{22}& \dots & b_{2n}\\ & & ⋮& \\ b_{m1}& b_{m2}& \dots & b_{mn}\end{array}\right)$$
如果 A 和 B 的维度相同，即 A 和 B 都是 m×n 矩阵，那么A 和 B 就是同型矩阵。

矩阵相等

如果A 和 B 的维度相同，即 A 和 B 都是 m×n矩阵，并且对于所有 i 和 j，都有 aij=bij，那么我们称矩阵 A 和 B 相等，记作 A=B。

矩阵相等的条件

1. 维度相同：两个矩阵的行数和列数必须相同。
2. 对应元素相等：所有对应位置的元素必须相等。

3 特殊类型的矩阵

1.3.1 方阵

一个 n×n 的方阵 A 可以表示为：矩阵的行数=列数
$$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{1n}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ & & ⋮& \\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right)$$
其中 aij 表示矩阵 A 中第 i 行第 j 列的元素。

方阵有主对角线和副对角线，非方阵没有主对角线和副对角线。

1.3.2 特殊的方阵

1.3.2.1 单位矩阵

主对角线上的元素都是 1，其余元素都是 0 的方阵，记作 I 或 E。例如，3 阶单位矩阵为：
$$E=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

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1.3.2.2 对角矩阵

主对角线上的元素可以是任意值，其余元素都是 0 的方阵。例如：
$$A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& 0& 0\\ 0& a_{22}& 0\\ 0& 0& a_{33}\end{array}\right)$$

1.3.2.3 上三角矩阵

主对角线及其上方的元素可以是任意值，主对角线下方的元素都是 0 的方阵。例如：
$$A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ 0& a_{22}& a_{23}\\ 0& 0& a_{33}\end{array}\right)$$

1.3.2.4 下三角矩阵

主对角线及其下方的元素可以是任意值，主对角线上方的元素都是 0 的方阵。例如：
$$A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& 0& 0\\ a_{21}& a_{22}& 0\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right)$$

1.3.2 零矩阵

一个 m×n的零矩阵 O 可以表示为：
$$A=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& \dots & 0\\ 0& 0& \dots & 0\\ & & ⋮& \\ 0& 0& \dots & 0\end{array}\right)$$
其中所有元素都是零。零矩阵的维度由它的行数和列数决定，记作 m×n。

思考：两个零矩阵相等？

错误，两个同型的零矩阵相等。

1.3.3 行矩阵

行矩阵（Row Matrix），也称为行向量（Row Vector），是线性代数中的一种特殊矩阵，它只有一行，但可以有多列。具体来说，一个

1×n 的矩阵称为行矩阵或行向量。行矩阵的维度是 1×n，其中 n 是列数。

一个 1×n的行矩阵 R 可以表示为：
$$R=\left(\begin{array}{cccc}{r}_{11}& r_{12}& \dots & r_{1n}\end{array}\right)$$
其中 r1j 表示行矩阵R 中第 1 行第 j 列的元素。

1.3.4 列矩阵

列矩阵（Column Matrix），也称为列向量（Column Vector），是线性代数中的一种特殊矩阵，它只有一列，但可以有多行。具体来

说，一个 m×1 的矩阵称为列矩阵或列向量。列矩阵的维度是 m×1，其中 m 是行数。

一个 m×1 的列矩阵 C 可以表示为：
$$C=\left(\begin{array}{c}{r}_{11}\\ r_{12}\\ ⋮\\ r_{1n}\end{array}\right)$$
其中 ci1 表示列矩阵 C 中第 i 行第 1 列的元素。

4.矩阵的加法

矩阵的加法是指两个相同维度的矩阵对应位置上的元素相加，得到一个新的矩阵。具体来说，如果两个矩阵 A 和 B 的维度相同，即都是

m×n矩阵，那么它们的和 C=A+B也是一个 m×n 矩阵，其中 C 的每个元素 cij 是 A 和 B 对应位置元素的和，即 cij=aij+bij。

设矩阵 AA 和 BB 分别为：
$$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{1n}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ & & ⋮& \\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cccc}{b}_{1n}& b_{12}& \dots & b_{1n}\\ b_{21}& b_{22}& \dots & b_{2n}\\ & & ⋮& \\ b_{m1}& b_{m2}& \dots & b_{mn}\end{array}\right)$$
如果 A 和 B 的维度相同，即 A 和 B 都是 m×n 矩阵，那么它们的和 C=A+B 也是一个 m×n 矩阵，即：
$$C=\left(\begin{array}{cccc}{c}_{1n}& c_{12}& \dots & c_{1n}\\ c_{21}& c_{22}& \dots & c_{2n}\\ & & ⋮& \\ c_{m1}& c_{m2}& \dots & c_{mn}\end{array}\right)$$
其中：
$$c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$$
矩阵加法的性质

1. 交换律：矩阵加法满足交换律，即 A+B=B+A。
2. 结合律：矩阵加法满足结合律，即 (A+B)+C=A+(B+C)。
3. 零矩阵：零矩阵 O 是矩阵加法的单位元，即对于任何矩阵 A，有 A+O=A。
4. 负矩阵：对于任何矩阵 A，存在一个负矩阵 −A，使得 A+(−A)=O。

5.矩阵的减法

矩阵的减法是指两个相同维度的矩阵对应位置上的元素相减，得到一个新的矩阵。具体来说，如果两个矩阵 A 和 B 的维度相同，即都是

m×n 矩阵，那么它们的差 C=A−B 也是一个 m×n 矩阵，其中 C 的每个元素 cij是 A 和 B 对应位置元素的差，即
$$c_{ij}=a_{ij}-b_{ij}$$
设矩阵 AA 和 BB 分别为：
$$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{1n}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ & & ⋮& \\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cccc}{b}_{1n}& b_{12}& \dots & b_{1n}\\ b_{21}& b_{22}& \dots & b_{2n}\\ & & ⋮& \\ b_{m1}& b_{m2}& \dots & b_{mn}\end{array}\right)$$
如果 A和 B 的维度相同，即 A 和 B都是 m×n 矩阵，那么它们的差 C=A−B也是一个 m×n矩阵，其中：
$$C=\left(\begin{array}{cccc}{c}_{1n}& c_{12}& \dots & c_{1n}\\ c_{21}& c_{22}& \dots & c_{2n}\\ & & ⋮& \\ c_{m1}& c_{m2}& \dots & c_{mn}\end{array}\right)$$
其中：
$$c_{ij}=a_{ij}-b_{ij}$$
矩阵减法的性质

1. 反交换律：矩阵减法不满足交换律，即 A − B ≠ B − A。
2. 结合律：矩阵减法满足结合律，即 (A − B) − C = A − (B + C)。
3. 零矩阵：零矩阵 O 在矩阵减法中扮演着类似于数字零的角色，即对于任何矩阵 A，有 A − O = A。

6.矩阵的数乘

矩阵的数乘（Scalar Multiplication）是指一个矩阵与一个标量（即一个实数或复数）相乘，结果是一个新的矩阵。具体来说，如果A 是

一个 m×n 的矩阵，k 是一个标量，那么它们的数乘 kA 也是一个 m×n 的矩阵，其中 kA 的每个元素是 A 对应位置元素与标量 k 的乘积。

设矩阵 A 为：
$$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{1n}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ & & ⋮& \\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)$$
如果 k 是一个标量，那么矩阵A 与标量 k 的数乘 kA 是一个 m×n 的矩阵，即：
$$kA=\left(\begin{array}{cccc}k{a}_{1n}& k{a}_{12}& \dots & k{a}_{1n}\\ k{a}_{21}& k{a}_{22}& \dots & k{a}_{2n}\\ & & ⋮& \\ k{a}_{m1}& k{a}_{m2}& \dots & k{a}_{mn}\end{array}\right)$$
其中
$$(kA{)}_{ij}=k\cdot a_{ij}$$
矩阵提公因子：矩阵的所有元素均有公因子k，则k向外提一次。

行列式提公因子：行列式的某一行有公因子k，则k向外提一次。

矩阵数乘的性质

1. 结合律：矩阵数乘满足结合律，即对于任何标量 k 和 l，以及任何矩阵 A，有 (kl)A = k(lA)=l(kA)。
2. 分配律：矩阵数乘满足分配律，即对于任何标量 k 和 l，以及任何矩阵 A，有 (k+l)A = kA + lA。
3. 标量乘法与矩阵加法的分配律：对于任何标量 k，以及任何矩阵 A 和 B，有 k(A+B) = kA + kB。
4. 单位标量：标量 1 是矩阵数乘的单位元，即对于任何矩阵 A，有 1A=A。
5. 零标量：标量 0 是矩阵数乘的零元，即对于任何矩阵 A，有 0A=O，其中 O 是零矩阵。

7.矩阵的乘法

矩阵的乘法是线性代数中的一个基本运算，它将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵。

矩阵乘法的条件

两个矩阵A 和 B 能够相乘的条件是：矩阵 A 的列数必须等于矩阵 B 的行数。具体来说，如果矩阵 A 是 m×n 的矩阵（即 m

行 n 列），矩阵 B 是 n×p 的矩阵（即 n 行 p 列），那么它们可以相乘，并且乘积矩阵 C 将是 m×p 的矩阵。即乘积矩阵C的行数等于矩

阵A的行数，矩阵C的列数等于矩阵B的列数(中间相等，取两端)。

矩阵乘法的定义

设 A 是一个 m×n 的矩阵，B 是一个 n×p 的矩阵，那么它们的乘积 C=A×B 是一个 m×p 的矩阵，其中 C 的第 i 行

第 j 列的元素 cij 定义为：
$$c_{ij}=\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{kj}$$
其中 aik 是矩阵 A 的第i行第 k 列的元素，bk 是矩阵 B 的第 k 行第j 列的元素。

矩阵乘法的性质

• 结合律：对于任意三个矩阵 A、B 和 C，如果它们的维度使得乘法有意义，那么 (A×B)×C=A×(B×C)。
• 分配律：对于任意三个矩阵 A、B 和 C，如果它们的维度使得乘法有意义，那么 A×(B+C)=A×B+A×C 和 (A+B)×C=A×C+B×C。
• 单位矩阵：对于任意矩阵 A，如果存在一个单位矩阵 E（维度与A 相匹配），那么 A×E=E×A=A，注意两个E的维度不一定一样。

矩阵乘法不满足的性质

• 交换律：AXB一般不等于BXA，如矩阵A维度2x2，B维度2x3，AxB的维度=2x3，BxA则不能相乘，因为B的列数不等于A的行数。如果AXB等于BXA，则矩阵A和B是同阶的方阵，并称A和B是可交换的矩阵。
• 消去律：由AXB=AXC，不能推导出B=C
• 由AxB=O，不能推出A=O或B=O

8.矩阵的幂

矩阵的幂是指将一个矩阵自身相乘多次的操作。具体来说，如果 A 是一个 n×n 的方阵，那么 A 的 k 次幂 A^k 定义为 A 自身相乘 k 次的结

果。

定义

设 A 是一个 n×n 的方阵，那么 A 的 k 次幂 A^k 定义为：
$$A^k=\frac{A\cdot A\cdot A\dots \cdot A}{k个}$$
其中 k 是一个正整数。

性质

矩阵幂具有以下性质：

• 结合律：对于任意正整数 k 和 l，
  $$(A^k{)}^l=A^{kl}$$

• 分配律：对于任意正整数 k 和 l，
  $$(A+B{)}^k\ne A^k+B^k$$
  （除非 AA 和 BB 是可交换的）例如A+B的平方：
  $$(A+B{)}^2=A^2+A\times B+B\times A+B^2$$
  如果A和B可交换，则AB=BA，所以
  $$(A+B{)}^2=A^2+2AB+B^2$$
  如果A和B不可交换，则AB与BA不等，则上述公式不能合并为2AB。

• 单位矩阵：对于任意方阵A，A^0=E，其中 E 是单位矩阵。

9.矩阵的转置

矩阵的转置（Transpose）是矩阵操作中的一种基本运算。它通过交换矩阵的行和列来生成一个新的矩阵。具体来说，如果 A 是一个

m×n 的矩阵，那么它的转置矩阵 A^T 是一个 n×m 的矩阵，其中 A^T 的第 i 行第 j 列的元素等于 A 的第 j 行第i 列的元素。

定义

设 A 是一个 m×n 的矩阵，其元素为 aij，那么 A 的转置矩阵 A^T 是一个 n×m 的矩阵，其元素为 aji。

性质

矩阵转置具有以下性质：

• (A^T)T = A：一个矩阵的转置的转置等于原矩阵。
• (A + B)^T = A^T + B^T：两个矩阵和的转置等于它们各自转置的和。
• (kA)^T = kA^T：一个矩阵乘以一个标量的转置等于该矩阵的转置乘以该标量。
• (AB)^T = B^T A^T：两个矩阵乘积的转置等于它们各自转置的乘积，但顺序相反。

特殊矩阵

• 对称矩阵：如果一个矩阵 A 满足 A^T=A，那么 A 是对称矩阵。对称矩阵的元素关于主对角线对称。

• 反对称矩阵：如果一个矩阵 A 满足 A^T=−A，那么 A 是反对称矩阵。反对称矩阵的主对角线元素必须为零，且关于主对角线对称的元素互为相反数。

  如：
  $$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 3\\ -1& 0& 4\\ -3& -4& 0\end{array}\right)$$

  $$A^T=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& -3\\ 1& 0& -4\\ 3& 4& 0\end{array}\right)=-A$$

  反对称矩阵：
  $$a_{ij}=-a_{ji}$$
  所以：
  $$a_{ii}=-a_{ii}=>2a_{ii}=0=>a_{ii}=0$$
  得出主对角线元素必须为零。

对称矩阵和反对称矩阵都是方阵。

矩阵A和B为同阶对称矩阵，AB对称的充要条件为AB=BA

证明：

AB对称则
$$(AB{)}^T=AB$$
同时
$$(AB{)}^T=B^T{A}^T$$
由于A和B是对称矩阵，则
$$(AB{)}^T=B^T{A}^T=BA$$
所以
$$AB=BA$$

10.方阵的行列式

要计算行列式的前提为矩阵A为方阵。

性质：A为n阶的方阵
$$|A^T|=|A|$$

$$|kA|=k^n|A|$$

$$|-A|=(-1{)}^n|A|$$

$$|AB|=|A||B|$$

$$|A^m|=|A{|}^m$$

$$|E|=1$$

11.伴随矩阵

设 A 是一个 n×n 的方阵，其元素为 aij。伴随矩阵 adj(A)或A* 是一个 n×n的矩阵，其第 i 行第 j 列的元素是 A 的余子式 Mji 的代数余子式 Cji，即：
$$(A^{\ast }{)}_{ij}=C^{ji}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ji}$$
其中 Mji是 A 的第j 行第i 列元素的余子式，即去掉第 j 行和第 i 列后剩下的 (n−1)×(n−1) 矩阵的行列式。

简单理解：

1.先按行求出每个元素的代数余子式

2.将每行元素的代数余子式按列组成一个矩阵，该矩阵就是伴随矩阵。

例如：
$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 1& 3\\ 1& 1& 4\end{array}\right)$$
求A的伴随矩阵A*

解：

按行求出每个元素的代数余子式：
$$\begin{gathered} C_{11}=(-1{)}^{1+1}\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& 4\end{array}\right|=1,C_{12}=(-1{)}^{1+2}\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 4\end{array}\right|=-5,C_{13}=(-1{)}^{1+3}\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right|=1 \\ {C}_{21}=-3,C_{22}=3,C_{23}=0 \\ {C}_{31}=2,C_{32}=-1,C_{33}=-1 \end{gathered}$$
然后将每行元素的代数余子式按列组成矩阵：
$$C=\left(\begin{array}{ccc}1& -3& 2\\ -5& 3& -1\\ 1& 0& -1\end{array}\right)$$
性质：
$$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|E$$
证明：
$$\begin{gathered} \left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}{C}_{11}+a_{12}{C}_{12}+...+a_{1n}{C}_{1n}& 0& ...& 0\\ 0& a_{21}{C}_{21}+a_{22}{C}_{22}+...+a_{2n}{C}_{2n}& ...& 0\\ & ⋮& & \\ 0& 0& ...& a_{n1}{C}_{n1}+a_{n2}{C}_{n2}+...+a_{nn}{C}_{nn}\end{array}\right) \\ =\left(\begin{array}{cccc}|A|& 0& ...& 0\\ 0& |A|& ...& 0\\ & ⋮& & \\ 0& 0& ...& |A|\end{array}\right)=|A|E \end{gathered}$$
性质2：
$$|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$$
证明：
$$|A{A}^{\ast }|=|A||A^{\ast }|=||A|E|=|A{|}^n|E|=|A{|}^n$$
所以
$$|A||A^{\ast }|=|A{|}^n=>|A|(|A{|}^{n-1}-|A^{\ast }|)=0$$
得出
$$|A|=0或|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$$
如果|A|=0，则A中两行元素相等或成比例，或一行元素为0，则其代数余子式必有一行元素为0，所以
$$|A^{\ast }|=0=0^{n-1}=|A{|}^{n-1}$$
所以等式成立。

12.逆矩阵

对于一个 n×n 的方阵 A，如果存在另一个 n×n的方阵 B，使得 AB=BA=E，其中 E 是 n×n 的单位矩阵，那么 B 称为 A 的逆矩阵，记作
$$A^{-1}$$
逆矩阵的存在条件

一个矩阵 A 有逆矩阵的充分必要条件是 A 是可逆的，即 det⁡(A)≠0。如果 det⁡(A)=0，则 A 是奇异矩阵，没有逆矩阵。

思考：如果A可逆，则可逆矩阵是唯一的

证明：

假设可逆矩阵不是唯一的，存在两个可逆矩阵B1和B2，则由可逆矩阵定义可知：
$$\begin{gathered} A{B}_1=B_{1}A=E \\ A{B}_2=B_{2}A=E \end{gathered}$$
则：
$$B_1=B_{1}E=B_1(A{B}_2)=(B_{1}A)B_2=E{B}_2=B_2$$
所以可逆矩阵唯一。

性质：

1.n阶方阵A可逆的充要条件为
$$|A|\ne 0$$
且当A可逆时，
$$A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$$
证明：

充分性：

因为
$$|A|\ne 0$$
则
$$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|E=>A(\frac{1}{|A|}{A}^{\ast })=(\frac{1}{|A|}{A}^{\ast })A=E$$
所以A可逆，并且
$$A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$$
必要性：

因为A可逆，则
$$AB=BA=E=>|AB|=|A||B|=|E|=1$$
所以
$$|A|\ne 0$$
例子：

有矩阵A：
$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 2& 1& 0\\ -3& 2& -5\end{array}\right)$$
问矩阵A是否可逆，如果可逆，求可逆矩阵

解：
$$|A|=\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 2& 1& 0\\ -3& 2& -5\end{array}\right|=-5+4+3=2\ne 0$$
所以A可逆
$$A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}-5& 2& -1\\ 10& -2& 2\\ 7& -2& 1\end{array}\right)$$

2.设A、B 和 C 是 n×n 的可逆矩阵，那么它们的乘积 ABC的逆矩阵为：
$$(ABC{)}^{-1}=C^{-1}{B}^{-1}{A}^{-1}$$

13.初等变换

初等变换一般可以分为两种类型：行变换、列变换。

初等行变换：

• 交换两行：将矩阵的第 i 行和第 j 行交换位置

  如：矩阵第二行和第三行交换
  $$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)->\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 7& 8& 9\\ 4& 5& 6\end{array}\right)$$

• 某一行乘以非零常数：将矩阵的第i 行乘以一个非零常数 k

  如：第二行乘以非零整数k
  $$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)->\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4k& 5k& 6k\\ 7& 8& 9\end{array}\right)$$

• 某一行加上另一行的倍数：将矩阵的第 i行加上第 j 行的 k 倍

  如：矩阵第一行乘以-4加到第二行
  $$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)->\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& -3& -6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)$$

初等列变换

• 交换两列：将矩阵的第 i 列和第 j 列交换位置
• 某一列乘以非零常数：将矩阵的第 i 列乘以一个非零常数 k
• 某一列加上另一列的倍数：将矩阵的第 i 列加上第 j 列的 k 倍

14.矩阵的标准形

常见的矩阵标准形包括行阶梯形矩阵、简化行阶梯形矩阵等。

14.1 行阶梯形矩阵

行阶梯形矩阵是一种特殊的矩阵形式，具有以下特征：

• 非零行在零行之上：所有非零行都在零行之上。
• 主元：每一行的第一个非零元素（主元）在上一行主元的右边。
• 主元下方元素为零：每一行的主元下方元素都为零。

例如，以下矩阵是一个行阶梯形矩阵：
$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 5& 6\\ 0& 0& 9\end{array}\right),\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 0& 5& 6& 7\\ 0& 0& 0& 9\end{array}\right)$$
简单理解为：用折线表示，竖线只过一个数，横线可过多个数

14.2 简化行阶梯形矩阵

简化行阶梯形矩阵是行阶梯形矩阵的一种特殊形式，具有以下特征：

• 非零行在零行之上：所有非零行都在零行之上。
• 主元为 1：每一行的第一个非零元素（主元）为 1。
• 主元下方元素为零：每一行的主元下方元素都为零。
• 主元上方元素为零：每一行的主元上方元素都为零。

即：

1.是行阶梯形矩阵；2.非0行的首非0元是1；3.非0行的首非0元所在列的其它元素都是0

例子：

有矩阵A
$$\left(\begin{array}{ccccc}2& -1& -1& 1& 2\\ 1& 1& -2& 1& 4\\ 4& -6& 2& -2& 4\\ 3& 6& -9& 7& 9\end{array}\right)$$
求该矩阵的行阶梯形矩阵和行简化阶梯形矩阵

解：

1.第1行和第2行交换，得到
$$\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& -2& 1& 4\\ 2& -1& -1& 1& 2\\ 4& -6& 2& -2& 4\\ 3& 6& -9& 7& 9\end{array}\right)$$
2.第1行乘以-2加到第2行，第1行乘以-4加到第3行，第1行乘以-3加到第4行，得到
$$\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& -2& 1& 4\\ 0& -3& 3& -1& -6\\ 0& -10& 10& -6& -12\\ 0& 3& -3& 4& -3\end{array}\right)$$
3.第2行乘以-10/3加到第3行，第2行加到第4行，得到
$$\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& -2& 1& 4\\ 0& -3& 3& -1& -6\\ 0& 0& 0& -\frac{8}{3}& 8\\ 0& 0& 0& 3& -9\end{array}\right)$$
4.第3三行乘以3/8，得到
$$\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& -2& 1& 4\\ 0& -3& 3& -1& -6\\ 0& 0& 0& -1& 3\\ 0& 0& 0& 3& -9\end{array}\right)$$
5.第3行乘以3加到第4行，得到一个阶梯形矩阵
$$\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& -2& 1& 4\\ 0& -3& 3& -1& -6\\ 0& 0& 0& -1& 3\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$
6.第三行乘以-1，得到
$$\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& -2& 1& 4\\ 0& -3& 3& -1& -6\\ 0& 0& 0& 1& -3\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$
7.第3行乘以-1加到第1行，第3行加到第2行
$$\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& -2& 0& 7\\ 0& -3& 3& 0& -9\\ 0& 0& 0& 1& -3\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$
8.第2行乘以1/3加到第1行，得到
$$\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& -1& 0& 4\\ 0& -3& 3& 0& -9\\ 0& 0& 0& 1& -3\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$
9.第2行乘以-1/3，得到一个行简化阶梯形矩阵
$$\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& -1& 0& 4\\ 0& 1& -1& 0& 3\\ 0& 0& 0& 1& -3\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$
思考：行阶梯形矩阵是唯一的吗？行简化阶梯形矩阵是唯一的吗？

行阶梯形矩阵不是唯一的，上边例子中第5、6、7步得到的矩阵都是行阶梯形矩阵

如果只做初等行变换，行简化阶梯形矩阵是唯一的，因为不能再简化了

15.初等矩阵

初等矩阵是由单位矩阵通过一次初等行变换或初等列变换得到的矩阵。

初等矩阵是由单位矩阵 II 通过以下三种初等行变换或初等列变换得到的矩阵：

• 交换两行（列）：将单位矩阵的第 i 行和第 j 行（列）交换位置。
• 某一行（列）乘以非零常数：将单位矩阵的第 i 行（列）乘以一个非零常数k。
• 某一行（列）加上另一行（列）的倍数：将单位矩阵的第 i 行（列）加上第 j 行（列）的 k 倍。

根据初等变换的类型，初等矩阵可以分为以下三种：

1. 交换两行（列）的初等矩阵

交换单位矩阵的第 i 行和第 j 行（列）得到的初等矩阵记作 Eij。例如，交换单位矩阵的第 1 行和第 2 行得到的初等矩阵为：
$$E_{12}=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$
2. 某一行（列）乘以非零常数的初等矩阵

将单位矩阵的第 i 行（列）乘以一个非零常数 k 得到的初等矩阵记作 Ei(k)。例如，将单位矩阵的第 2 行乘以 3 得到的初等矩阵为：
$$E_{2(3)}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 3& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$
3. 某一行（列）加上另一行（列）的倍数的初等矩阵

将单位矩阵的第i 行（列）加上第 j 行（列）的 k 倍得到的初等矩阵记作 Eij(k)。例如，将单位矩阵的第 2 行加上第 1 行的 2 倍得到的初等矩阵为：
$$E_{21(2)}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$
将单位矩阵的第 2 列加上第 1 列的 2 倍得到的初等矩阵为：
$$E_{21(2)}=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$
初等矩阵的性质

初等矩阵具有以下重要性质：

• 初等矩阵的逆矩阵也是初等矩阵：

  • 交换两行（列）的初等矩阵的逆矩阵是它本身，即
    $$(E_{ij}{)}^{-1}=E_{ij}$$
    例如，单位矩阵A：
    $$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$
    交换第1行和第2行后的初等矩阵为
    $$B=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$
    B的行列式
    $$|B|=-1$$
    B的伴随矩阵
    $$B^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ -1& 0& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$$
    B的逆矩阵
    $$B^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }=(-1)\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ -1& 0& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=B$$

• 某一行（列）乘以非零常数的初等矩阵的逆矩阵是将该行（列）乘以 1/k，即
  $$(E_{i(k)}{)}^{-1}=E_{i(\frac{1}{k})}$$
  验证逻辑同上，略

• 某一行（列）加上另一行（列）的倍数的初等矩阵的逆矩阵是将该行（列）减去另一行（列）的 k 倍，即
  $$(E_{ij(k)}{)}^{-1}=E_{ij(-k)}$$
  验证逻辑同上，略

• 初等矩阵的行列式：

  • 交换两行（列）的初等矩阵的行列式为 -1。
  • 某一行（列）乘以非零常数的初等矩阵的行列式为 k。
  • 某一行（列）加上另一行（列）的倍数的初等矩阵的行列式为 1。

对矩阵A做一次行变换，相当于用同种初等矩阵左乘A

假设有矩阵A，交换第1行和第2行
$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ a& b& c\\ 1& 1& 0\end{array}\right)->\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ 1& 2& 3\\ 1& 1& 0\end{array}\right)$$
等同于交换第1行和第2行的初等矩阵左乘矩阵A
$$\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ a& b& c\\ 1& 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ 1& 2& 3\\ 1& 1& 0\end{array}\right)$$
对矩阵A做一次列变换，相当于用同种初等矩阵右乘A

验证逻辑同行变换

上述两个结论将初等变换转换成了等式运算，更方便进行运算。

16.矩阵的秩

16.1 k阶子式

k阶子式是指从矩阵中选取 k 行和 k 列后形成的 k×k 子矩阵的行列式

矩阵 k 阶子式的计算方法

计算矩阵 A 的 k 阶子式的步骤如下：

1. 选取 k 行和 k 列：从矩阵 AA 中选取 k 行和 k 列，形成一个 k×k 的子矩阵。
2. 计算子矩阵的行列式：计算所选子矩阵的行列式，即为矩阵 A 的 k 阶子式。

例子：

假设矩阵A
$$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 2& 3& 4& 5\\ 2& 2& 2& 2\end{array}\right)$$
1阶子式：1，1，1，1

2阶子式：
$$\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 3\end{array}\right|=1,\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 3& 4\end{array}\right|=1,\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 4& 5\end{array}\right|=1,...$$
3阶子式：
$$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 3& 4\\ 2& 2& 2\end{array}\right|=0,\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 3& 4& 5\\ 2& 2& 2\end{array}\right|=0$$

16.2 秩

矩阵的秩：非零子式的最高阶数，记作：r(A)

假设矩阵A
$$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 2& 3& 4& 5\\ 2& 2& 2& 2\end{array}\right)$$
求矩阵A的秩

由16.1节计算的k阶子式可知，非零的子式有1阶和2阶；由秩的定义可知，非零子式的最高阶为2，所以矩阵A的秩为2，即r(A)=5。

秩的计算方法

通过初等行变换将矩阵化为行阶梯形矩阵或简化行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的数量即为矩阵的秩。初等行或列变换不改变矩阵的秩。步骤：

1.将矩阵进行初等变换为行阶梯形矩阵

2.非零行的行数即为矩阵的秩

例子：

假设矩阵A
$$A=\left(\begin{array}{ccccc}1& -1& 2& 1& 0\\ 2& -2& 4& -2& 0\\ 3& 0& 6& -1& 1\\ 0& 3& 0& 0& 1\end{array}\right)$$
求A的秩

解：

第1行乘以-2加到第2行，第1行乘以-3加到第3行，得到
$$\left(\begin{array}{ccccc}1& -1& 2& 1& 0\\ 0& 0& 0& -4& 0\\ 0& 3& 0& -4& 1\\ 0& 3& 0& 0& 1\end{array}\right)$$
第2行与第3行交换，得到
$$\left(\begin{array}{ccccc}1& -1& 2& 1& 0\\ 0& 3& 0& -4& 1\\ 0& 0& 0& -4& 0\\ 0& 3& 0& 0& 1\end{array}\right)$$
第2行乘以-1加到第4行，得到
$$\left(\begin{array}{ccccc}1& -1& 2& 1& 0\\ 0& 3& 0& -4& 1\\ 0& 0& 0& -4& 0\\ 0& 0& 0& 4& 0\end{array}\right)$$
第3行加到第4行，得到行阶梯形矩阵
$$\left(\begin{array}{ccccc}1& -1& 2& 1& 0\\ 0& 3& 0& -4& 1\\ 0& 0& 0& -4& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$
所以矩阵A的秩r(A)=3

练习：

假设矩阵A
$$A=\left(\begin{array}{cccc}k& 1& 1& 1\\ 1& k& 1& 1\\ 1& 1& k& 1\\ 1& 1& 1& k\end{array}\right)$$
已知r(A)=3，求k的值

解：

由r(A)=3，而矩阵是4阶可知，|A|=0，所以
$$|A|=\left|\begin{array}{cccc}k& 1& 1& 1\\ 1& k& 1& 1\\ 1& 1& k& 1\\ 1& 1& 1& k\end{array}\right|=(k+3)\left|\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 1& k-1& 0& 0\\ 1& 0& k-1& 0\\ 1& 0& 0& k-1\end{array}\right|=(k+3)(k-1{)}^3=0$$
所以 k=1或k=-3

如果k=1，带入矩阵
$$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1\end{array}\right)->\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$
此时，r(A)=1，因此k=1不是解，所以k=-3