量子信息的距离度量——迹距离和保真度

什么是两则信息类似？一个过程保护一则信息意味着什么？这些问题都是量子信息处理理论的核心问题。通常有两大类距离度量:静态度量和动态度量。静态度量定量地刻画两个量子态之间的距离，而动态度量则描述一个过程前后，量子信息被保护得好坏。我们的策略是首先发展出好的静态距离度量，然后以此为基础，发展出距离的动态度量。

其实，无论从经典角度还是量子角度，距离度量的定义都有一定的随意性，而量子信息和量子计算中，使用一系列不同的距离度量是非常方便的。

经典信息距离度量

对于字符串01001和10010，一个可能的度量方法是汉明距离，这种距离定义为这两个字符串中所有内容不同的比特位置数量。即两个字符串的距离为4。糟糕的是，两个对象之间的汉明距离仅仅涉及标号的问题，但量子力学所依赖的希尔伯特空间中原本没有标号的概念。

实际上，对研究量子信息之间的距离度量来说，一个好得多的出发点是经典概率分布之间的比较。在经典信息论中，一个信源通常被建模为一个随机变量，也就是某个源信息对应字符表的概率分布。在我们读取文字之前，我们可以字母在文字中出现的相对频率，或者这些字母之间的特定关联，做一些合理的猜测。例如，字母对“th”在英文中比字母“zx”常见的多。信源的这种可以被看作某种字母表上的概率分布特征，启发着我们在寻找距离度量的时候，将精力放在概率分布上。

对于两个定义在同一个标号集上的概率分布 ${ p_{x} }$ 和 ${ q_{x} }$ ，当我们说它们很接近时，意味着什么？

第一个距离是迹距离，其定义如下：

$D({ p_{x} },{ q_{x} }) = \frac{1}{2}\sum_{x}^{}|p_{x}-q_{x}|$

这个量有时候称作 $L_{1}$ 或者kolmogorov距离。D（x，y）满足对称性， $D(x,y)=D(y,x)$ ，以及

满足三角不等式， $D(x,z)\leq D(x,y)+ D(y,z)$

问题1：对于概率分布（1，0）和（1/2，1/2）之间的迹距离是多少？

$(1,0)=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ ， $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})=\begin{bmatrix} \frac{1}{2}& 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$

将两矩阵相减，迹距离等于

$1/2Tr (\begin{bmatrix} -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} \end{bmatrix})$

第二个概率空间的距离度量是保真度。概率分布 ${ p_{x} }$ 和 ${ q_{x} }$ 之间的保真度定义为

$F(p_{x},q_{x} )\equiv \sum_{x}^{} \sqrt{p_{x}q_{x}}$

相比于迹距离，保真度是一种非常不同的度量概率分布间距离的方法。

$F(p,q)=\sqrt{p} \cdot \sqrt{q} =cos\sigma$

即保真度可以被解释为球面上向量 $\sqrt{p}$ 和 $\sqrt{q}$ 的内积。

动态测量

迹距离和保真度是比较两个固定概率分布的静态度量。另一个距离的度量是一个动态度量，它刻画了某个具体的物理过程中，量子信息被保护得好坏。假设一个随机变量X被通过一个有噪声信道传送出去，以另一个随机变量Y的形式输出，形成一个马尔可夫过程 $X\rightarrow Y$ 。为了方便讨论，我们假设X和Y有相同的取值范围，取值记作x。那么X和Y分布不同的总概率，即 $p(X\neq Y)$ ，将是一个显而易见的可以衡量整个过程信息保护的好坏的量。

让人惊奇的是，动态距离度量也可以理解成静态迹距离的一个特例。想象我们被赋予一个随机遍历X，然后我们制备它的一个拷贝，产生一个新的随机变量， $\widetilde{X}=X$ ,将X通过一个有噪声的信道传出去，产生随机变量Y,那么开始的完美关联 $(\widetilde{X},X)$ ，距离结尾的 $(\widetilde{X},Y)$ 有多远？