序言
深度学习，作为人工智能领域的一个核心分支，近年来在图像识别、语音识别、自然语言处理等多个方面取得了显著进展。其核心思想是通过构建深层的神经网络模型，模拟人脑的学习机制，从而实现对复杂数据的自动特征提取和高效处理。然而，在深度学习的研究与实践中，配分函数（ Partition Function \text{Partition Function} Partition Function）作为一个重要的数学概念，其地位与作用往往被忽视或低估。
配分函数起源于统计物理学，用于描述系统在不同状态下的概率分布。在深度学习中，配分函数虽然不直接出现在每一层的计算中，但它却隐含在模型的概率解释和优化过程中。特别是在处理概率图模型、变分自编码器、生成对抗网络等高级主题时，配分函数的概念显得尤为重要。它不仅是连接模型似然函数与优化目标的桥梁，还是理解模型泛化能力、防止过拟合的关键所在。
面对配分函数
- 在深度学习中的结构化概率模型 - 使用图来描述模型结构篇 - 无向模型中，我们看到许多概率模型（通常被称为无向图模型）由未归一化的概率分布 p ~ ( x ; θ ) \tilde{p}(\text{x}; \theta) p~(x;θ) 所定义。我们必须通过除以配分函数 Z ( θ ) Z(\theta) Z(θ) 来归一化 p ~ \tilde{p} p~，以获得有效的概率分布：
p ( x ; θ ) = 1 Z ( θ ) p ~ ( x ; θ ) p(\text{x};\theta)=\displaystyle\frac{1}{Z(\theta)}\tilde{p}(\text{x};\theta) p(x;θ)=Z(θ)1p~(x;θ) — 公式1 \quad\textbf{---\footnotesize{公式1}} —公式1 - 配分函数是未归一化概率所有状态的积分（对于连续变量）或求和（对于离散变量）：
∫ p ~ ( x ) d x \displaystyle\int \tilde{p}(\boldsymbol{x})\text{d}\boldsymbol{x} ∫p~(x)dx — 公式2 \quad\textbf{---\footnotesize{公式2}} —公式2
或者
∑ x p ~ ( x ) \sum\limits_x \tilde{p}(\boldsymbol{x}) x∑p~(x) — 公式3 \quad\textbf{---\footnotesize{公式3}} —公式3 - 对于很多有趣的模型而言，以上计算难以处理。
- 正如我们将在后续篇章：深度生成模型中看到的，有些深度学习模型设计成具有易于处理的归一化常数，或设计成能够在不涉及计算 p ( x ) p(\text{x}) p(x) 的情况下使用。
- 然而，其他模型会直接面对难处理的配分函数的挑战。
- 在面对配分函数系列篇章中，我们会介绍用于训练和评估具有难以处理配分函数的模型的技术。
总结
配分函数虽然在深度学习的日常实践中不常被直接提及，但其对深度学习理论框架的完善与优化具有不可替代的作用。深入研究配分函数，不仅有助于我们更好地理解深度学习模型的内在机制，还能为开发更高效、更鲁棒的深度学习算法提供新的思路。未来，随着深度学习理论的不断发展和应用领域的持续拓展，配分函数的研究将会更加深入，其在深度学习中的价值也将得到更广泛的认可和应用。因此，对于从事深度学习研究的学者和工程师来说，掌握配分函数的基本概念与应用方法，无疑是一项重要的基础技能。