序言
蒙特卡罗方法是一种通过在一定范围内均匀随机抽样来得到某个结果的计算方法。其中， Gibbs \text{Gibbs} Gibbs采样作为蒙特卡罗方法中的一种重要技术，特别是在处理复杂多元概率分布采样时展现出独特的优势。 Gibbs \text{Gibbs} Gibbs采样基于马尔可夫链蒙特卡罗（ MCMC \text{MCMC} MCMC）理论，通过逐个更新参数的高斯分布采样，实现复杂数据分布的近似采样。在深度学习和统计学等领域， Gibbs \text{Gibbs} Gibbs采样被广泛应用于参数估计、模型选择和决策制定等问题，尤其是在神经网络训练和隐变量模型的近似推断中，其效率和精度得到了广泛认可。
Gibbs采样
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截至目前我们已经了解了如何通过反复地更新 x ← x ′ ∼ T ( x ′ ∣ x ) \boldsymbol{x} \gets \boldsymbol{x}^\prime \sim T (\boldsymbol{x}^\prime \mid \boldsymbol{x}) x←x′∼T(x′∣x) 从一个分布 q ( x ) q(\boldsymbol{x}) q(x) 中采样。
- 然而我们还没有提到过如何确定一个有效的 q ( x ) q(\boldsymbol{x}) q(x) 分布。
- 本篇中描述了两种基本的方法。
- 第一种方法是从已经学习到的分布 p model p_{\text{model}} pmodel 中推导出 T T T，下文描述了如何从基于能量的模型中采样。
- 第二种方法是直接用参数描述 T，然后学习这些参数，其静态分布隐式地定义了我们所感兴趣的模型 p model p_{\text{model}} pmodel。
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在深度学习中，我们通常使用马尔可夫链从定义为基于能量的模型的分布 p model ( x ) p_{\text{model}}(\boldsymbol{x}) pmodel(x) 中采样。
- 在这种情况下，我们希望马尔可夫链的 q ( x ) q(\boldsymbol{x}) q(x) 分布就是 p model ( x ) p_{\text{model}}(\boldsymbol{x}) pmodel(x)。
- 为了得到所期望的 q ( x ) q(\boldsymbol{x}) q(x) 分布，我们必须选取合适的 T ( x ′ ∣ x ) T (\boldsymbol{x}^\prime \mid \boldsymbol{x}) T(x′∣x)。
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Gibbs \textbf{Gibbs} Gibbs 采样 ( Gibbs Sampling \text{Gibbs Sampling} Gibbs Sampling) 是一种概念简单而又有效的方法。
- 它构造一个从 p model ( x ) p_{\text{model}}(\boldsymbol{x}) pmodel(x)中采样的马尔可夫链，其中在基于能量的模型中从 T ( x ′ ∣ x ) T (\text{x}^\prime \mid \text{x}) T(x′∣x) 采样是通过选择一个变量 x i \text{x}_i xi，然后从 p model p_{\text{model}} pmodel 中该点关于在无向图 G \mathcal{G} G（定义了基于能量的模型结构）中邻接点的条件分布中抽样。
- 给定他们所有的邻居结点只要一些变量是条件独立的，那么这些变量可以被同时采样。
- 正如在深度学习中的结构化概率模型 - 结构化概率模型的深度学习方法篇 - 受限玻尔兹曼机实例中看到的 RBM \text{RBM} RBM的例子一样， RBM \text{RBM} RBM所有的隐藏单元可以被同时采样，因为在给定可见单元的条件下他们相互条件独立。
- 同样的，所有的可见单元也可以被同时采样因为在给定隐藏单元的情况下他们相互条件独立。
- 像这样的同时更新许多变量的 Gibbs \text{Gibbs} Gibbs 采样通常被叫做块吉布斯采样 ( block Gibbs Sampling \text{block Gibbs Sampling} block Gibbs Sampling)。
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设计从 p model p_{\text{model}} pmodel 中采样的马尔可夫链还存在另外的备选方法。
- 比如说， Metropolis Hastings \text{Metropolis Hastings} Metropolis Hastings 算法在其他情景下被广泛使用。
- 在深度学习的无向模型中，除了Gibbs 采样很少使用其他的方法。
- 改进采样技巧也是一个潜在的研究热点。
总结
Gibbs \text{Gibbs} Gibbs采样作为一种高效的MCMC方法，通过迭代更新参数的高斯分布，实现了对复杂多元概率分布的近似采样。其基本原理是利用已知参数的高斯分布近似未知参数的高斯分布，并通过精确计算高斯分布的均值和方差，保证了采样的效率和精度。在深度学习中， Gibbs \text{Gibbs} Gibbs采样被广泛应用于神经网络训练和隐变量模型的近似推断，为这些问题提供了准确的样本。
然而， Gibbs \text{Gibbs} Gibbs采样也存在一些不足。例如，其效率高低取决于初始高斯分布的选择，如果选择不当，可能会导致采样效率低下。此外，对于具有复杂结构的数据分布， Gibbs \text{Gibbs} Gibbs采样可能难以收敛到正确的分布。尽管如此，随着计算资源的进步和研究者对 Gibbs \text{Gibbs} Gibbs采样技术的不断探索和改进，这些问题有望得到解决。
综上所述， Gibbs \text{Gibbs} Gibbs采样作为一种重要的蒙特卡罗方法，在复杂多元概率分布的采样问题中具有广泛的应用价值和重要地位。未来，随着技术的不断发展， Gibbs \text{Gibbs} Gibbs采样有望在更多领域展现其独特的优势。